导图社区 解析几何与线性代数
根据南京航空航天大学曹荣美教授的教学撰写的线性代数的思维导图，对理清大学线性代数的思维本质有深刻的帮助
工科数学分析（第五版），参考王泽军老师的授课和编者陈纪修教授的启发，详尽地介绍了大学微分中值定理 PS.并附有原版书籍和个人笔记地图片
逻辑思维能力是指正确、合理思考的能力。即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力，采用科学的逻辑方法，准确而有条理地表达自己思维过程的能力。本思维导图对大学线性代数中行列式进行了深入理解分析，希望对你有帮助！
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解析几何与线性代数
行列式
二阶矩阵的行列式
基本性质
性质1(反对称性）
若a,b为平面上两个向量，则S[a,b]=-S[b,a]
性质2（线性性）

性质3（线性性）
推论
二阶行列式
线性变换
线性映射下的像
有向面积的映射
行列式det
面积转换的行列式表示
二阶行列式的乘积性质
Cramer法则
内容
     
三阶矩阵的行列式
性质1（换元变号）
三阶行列式
线性变换到行列式
n阶矩阵的行列式及基本性质
性质
反对称性
齐次性
可加性
单位矩阵
根据性质的定义
奇偶排列相等
反对称性和多重线性
 
转置不变性
行列式的更多性质
内部性质
三角矩阵的行列式
可逆的条件
方阵A可逆 < = > 行列式不为零
初等变换前后关系
A经过初等变换形成U，则det（A）与det（U）同为零或同不为零
分块等价性
矩阵代数
Fn上线性映射的矩阵表示
线性映射关于自然基的表示矩阵
分类
零矩阵
矩阵和向量的乘积运算
运算性质
A（x+y）=Ax+Ay
A（cx）=c（Ax）
唯一性
L:Fn->Fm为线性映射，当且仅当存在一个m*n矩阵A使得 L（x）=Ax
线性映射的运算和矩阵的运算
相等
A=B <=>aij=bij
加法运算
两个线性映射a（x）=Ax，b（x）=Bx 的和可表示为 a（x）+b（x）=Ax+Bx=（A+B)x
线性映射的和仍为线性映射
矩阵的和
A+B=[aij+bij]
数乘运算
线性映射的数乘仍为线性映射
矩阵的数乘
cA=[caij]
线性映射的复合与矩阵的乘法
A行=B列
PS.不满足交换律和消去律
可逆线性映射与逆矩阵
可逆映射的逆映射也为线性映射
AB=BA=I
等价结论
矩阵的转置
aij=bji
（Ax）^T=x^T A^T
矩阵运算的性质
线性运算
矩阵运算
转置运算
可逆运算
初等矩阵
第一类初等矩阵
I做一次第一类初等行（列）变换
第二类初等矩阵
I第二类初等行（列）变换
第三类初等矩阵
I做一次第三类初等行（列）变换
初等矩阵的转置及其逆矩阵
[A | I ]=[ I | A^-1]
分块矩阵
列分块与行分块
基本情况
分块矩阵的初等变换
分块初等矩阵
内积空间
内积空间概念
欧几里得空间
性质1
<u,u>>=0 并且等号成立iff u=0
性质2
<u,v>=<v,u>
性质3
<ku.v>=k<u,v>
性质4
<u+v,w>=<u,v>+<u,w>
Rn中的标准内积
<u,v>=u1v1+u2v2+……+unvn
向量长度
||u||=（<u,u>)^1/2
零向量
<0.v>=<0*0,v>=0<0,v>=0
毕达哥拉斯定理
||u+v||^2=||u||^2+||v||^2
投影
定义
数量投影
<u.v> ------- ||v||
向量投影
<u,v> v ------- --- ||v|| ||v||
柯西-施瓦兹定理
|<u,v>|<=||u|| ||v|| 等号成立 iff u与v线性相关
夹角
三角不等式
||u+v||<=||u||+||v||
平行四边形法则
||u+v||^2+||u-v||^2<=2(||u||^2+||v||^2)
距离
d（u，v）= ||u-v||
d (u,v)>=0, d(u,v)=0 iff u=v
d(u,v)=d(v,u)
d(u,v)+d(v,w)>=d(u,w)
标准正交基和正交化过程
正交向量组
线性无关性
正交向量组是线性无关的
唯一投影向量
标准正交基
投影向量
内积表达式
<a,b>=x1y1+x2y2+……+xnyn
正交变换与矩阵表示
正交变换
充要条件
正交矩阵
设Q是一个n阶实方阵。若矩阵Q得列向量组q1，q2，……，qn构成Rn得一个标准正交基，则称Q为正交矩阵。
n阶实矩阵Q是正交矩阵 iff Q（T）Q=I
充要条件2
设G为欧式空间V上的线性变换。则G为正交变换 iff 它相对于任一标准正交基的表示矩阵为正交矩阵。
实二次型
二次型及其矩阵表示
二次型
二次型的矩阵表示
对应关系
n元实二次型与n阶实对称矩阵之间存在一一对应关系
二次型的标准型
标准形
合同关系
X^TAX=(PY)^TA(PY)=Y^T(P^TAP)Y B^T=(P^TAP)^T=P^TA^T(P^T)^T=P^TAP=B 矩阵B与A之间的关系称为合同关系
反身性
对称性
传递性
主轴定理
惯性定理
一个二次型f（x1，x2，……，xn）=X^TAX的规范形中正系数和负系数的个数是唯一确定的（二次型的符号差s=p-q）
正定二次型和正定矩阵
空间解析几何
向量代数
向量运算的基本性质
交换律
结合律
反向量
分配律
数学表示
模的运算性质
|a|>=0
|ka|=|k||a|
|a+b|<=|a|+|b|
基本定理（共线的充要条件）
向量v1，v2共线iff存在k1，k2 s.t. k1v1+k2v2=0 若v1,v2不共线，k1,k2 s.t.k1v1+k2v2=0,有k1=k2=0
多维推广
向量的内积
Prjba=|a|cos（a，b）
内积
<a,b>=(Prjba)|b|=|a||b|cos(a,b)
定理
a，b正交iff<a,b>=0
投影关系
1.<a,a>=|a|*|a| ,<a,a>=0 iff a=0 2.<a,b>=<b,a> 3.<ka,b>=k<a,b> 4.<a+b,r>=<a,r>+<b,r>
勾股定理
向量的外积
a*b=|a||b|sinr*n
性质定理
PS.性质3的几何证明

向量的混合积
[| a,b,c|]=<a*b,r>
平面与直线
平面方程
点法式和一般式
三元一次方程<=>平面
三点式和截距式
参数方程
直线方程
对称式和参数方程
/x=x0+mt |y=y0+nt \z=z0+pt (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p
两点式
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
一般式
/A1x+B1y+C1z+D1=0 \A2x+B2y+C2z+D2=0 PS.平面法向量为系数数组，直线方向向量为法向量的叉乘
距离与角度
点--直线
点--平面
异面直线
相关文献
平面夹角
线面夹角
概要
空间曲面与空间曲线
曲面方程与曲线方程
F(x,y,z)=0 /F(x,y,z)=0 \G(x,y,z)=0
柱面
/F(x,y)=0 \z=0 投影柱面：曲线方程消去z（非充要条件）
圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面
旋转曲面
F(+-(x^2+y^2)^1/2 , z)
单叶双曲面，双叶双曲面，圆锥面，椭圆抛物面，椭球面
锥面
x^2/a^2+y^2/b^2=z^2/h^2 <=> F(xh/z+yh/z)=0
二次曲面
截痕法
坐标变换
平移
旋转
类别
柱坐标
/x=rcosa |y=rsima \z=z
球坐标
/x=rsinacosb |y=rsinasinb \z=rcosa
特征值和特征向量
特征值与特征向量
特征值
特征向量
特征子空间
特征方程
r为矩阵A的特征值 iff r为矩阵A的特征方程的根 
相似恒同性
相似的矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值
迹
设矩阵A=【aij】n*n，则a11+a22+……+ann称为矩阵A的迹，记为tr（A）
与特征值的关系
矩阵的对角化
特征向量的线性无关性
几何重数与代数重数
几何重数
代数重数
关系
特征值的几何重数不超过代数重数。
条件
可对角化的充要条件I
n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
可对角化的充分条件
n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则矩阵A可对角化。
可对角化的充要条件II
矩阵可对角化的充要条件是它每一个特征值的几何重数等于代数重数。
复数域上的一般性结论
相似特殊性
复数域上的n阶方阵相似于一个上三角矩阵
函数传递性
设f（x）为多项式函数，n阶矩阵A的特征值为r1，……，rn（重根按重数计算），则矩阵f（A）的特征值为f（r1），……，f（rn）
实对称矩阵
实对称矩阵能够相似于对角矩阵，且使矩阵对角化的矩阵是正交矩阵
实数性
实对称矩阵A的特征值都是实数
特征向量正交性
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量在Rn中是正交
实对称矩阵的谱定理
实对称矩阵对角化的步骤
求出特征值
对于每一个特征值求出特征子空间的标准正交基
将该基排列得正交矩阵
正交矩阵对角化
向量空间与线性映射初步
映射的基本概念
种类
单射
满射
一一对应
一一对应定理
f：S->T为可逆映射，iff f为一一对应 
运算
复合
PS.满足结合律
逆映射
向量空间Fn及Fn上的线性映射
向量空间
数域
向量空间Fn中的运算性质
向量组的线性组合
span{a1,a2,…,an}={x1a1+x2a2+…+xnan | x1,x2,…,xn属于F}
自然基
向量空间上的线性映射
定义（几何）
特殊变换
拉伸变换
旋转变换
投影变换
等价条件
特殊映射
零映射
恒同映射
线性方程组
基本概念
相容方程组
方程组无解，则不相容； 方程组至少有一解，则相容
等价线性方程组
相同未知量，相同解集
线性方程组的初等变换
1.交换位置 2.用非零数k乘方程组中的某一个方程 3.把方程组的k倍加到另一个方程上 PS.初等变换前后方程组等价
本质
矩阵
矩阵的初等行变换
经过初等行变换后与原方程组同解
行对换
行倍乘
行倍加
高斯消元法
最简行阶梯形矩阵
唯一
首1列非零元素唯一
行阶梯形矩阵
首1
零元素递增
零行沉底
解的情况
空集
【0 0 … 0|1】
唯一解
无穷解
【0 0 … 0|0】
齐次线性方程组
Fn的子空间
子空间的性质
加法运算封闭
数乘运算封闭
线性映射的值域和核
特殊矩阵
对角矩阵
三角矩阵
对称矩阵
再论向量空间与线性映射
向量空间和线性映射
设V是一个非空集合，F是一个数域。如果在V上定义了一个加法运算以及数乘运算，且满足8条运算性质，则称V是F上的向量空间。
1.单位元是唯一的 2.加法逆元是唯一的 3.0a=0，k0=0 4.若ka=0，则k=0或a=0 5.-a=（-1）a
线性映射
设U，V为数域F上的向量空间，如果映射L：U->V 满足 对任意x，y属于U，L（x+y)=L(x)+L(y) 对任意x属于U，k属于F，L（kx）=kL（x） 则称映射L为线性映射。 线性映射核定义为 ker（L）={x属于U|L（x）=0} 线性映射值域定义为 range（L）={L（x)|x属于U}
有限维向量空间及其子空间
有限维向量空间的定义
子空间的定义
设S是向量空间V的一个非空子集。如果S采用V中的相同的加法和数乘运算，且S关于这两种运算也构成向量空间，则称S是v的子空间。
封闭性
非空子集S是向量空间V的子集。则S是V的子空间当且仅当S关于V中的加法和数乘运算具有运算封闭性。
张成性
设a1，a2，……，am属于V，则S=span{a1，a2，……，am}是V的子空间
线性表出性
设数域F上的向量空间V中的向量组u1，u2，……，um中每一个向量都可由V中的k个向量v1，v2，……，vk线性表出，且m>k，则存在数域F中不全为零的数d1，d2，……，dm使得d1u1+d2u2+……+dmum=0
有限性
线性相关性和线性无关性
基的无关性
若v是v1，v2，……，vk的线性组合，iff span{v1，v2，……，vk，v}=span{v1，v2，……，vk}
线性相关和线性无关
向量的相关性
设V=span{v1,v2,……，vn}.V中的每一个元素都能唯一地写成生成集中地向量地线性组合，iff vi线性无关
线性表出
如果向量组I中地每一个向量都可以写成向量组II的线性组合，则称向量组I可由向量组II线性表出。若能相互线性表出，则称两个向量组等价。
子空间性
若向量组I可由向量组II线性表出，则向量组I生成的向量空间为向量组II生成的向量空间的子空间。
等价性
若两个向量组等价，则他们生成相同的向量空间。
基、维数和坐标变换
基
基的等价条件
有限维向量空间中基的存在性
数量恒定性
维数
基中向量的个数
和基的关系
V中任一具有n个向量的线性无关组是V的一个基
生成集
V中任一具有n个向量的生成集是V的一个基。
坐标向量
子空间的交与和
交
若V1，V2为V的子空间，则交集V1交V2也为V的子空间。
和
设V1，V2为V中的子空间，则集合V1+V2定义为 V1+V2={v1+v2 | v1属于V1，v2属于V2}
若V1，V2为V中的子空间，则他们的和也为V的子空间。
直和
四个等价条件
1.V1+V2是直和 2.若v1属于V1，v2属于V2，且v1+v2=0，则必有v1=v2=0 3.V1交V2={0} 4.dim（V1+V2）=dim（V1）+ dim（V2)
互补性
和空间的维数
设V是有限维子空间，U1，U2为V的子空间，则 dim（U1+U2）=dim U1+dim U2 - dim（U1交U2）
矩阵的秩与线性方程组解的结构
矩阵的秩
设A为数域F上的m*n矩阵，dim（R（A））称为矩阵的秩（rank），dim（N（A））称为矩阵的零度
转置等价性
T dim R（A）=dim R(A )
初等变换等价性
设矩阵A经初等行变换化为矩阵B，则 1.R（A）=R（B） 2.矩阵A列向量中的部分向量组线性无关（相关）iff 矩阵B列向量中的部分向量组线性无关（相关）
可复合矩阵间秩的关系
设A，B为数域F上的矩阵，A为m*n矩阵，B为n*s矩阵，则 r（A）+r（B）<=r(AB)+n
矩阵A的秩为r iff 矩阵A有一个r阶子矩阵的行列式不为零，且所有可能的r+1阶子式都为零。
秩-零度定理
设A是数域F上的m*n矩阵，则 dim（N（A））+dim（R（A））=n
秩与维度的关系
设A为数域F上的m*n矩阵，若Fn=N（A）（直和）S，则 dim（S）=dim（R（A））=rank（A）
线性方程组解的结构
有解的等价条件
特解的验证
通解的验证
矩阵的标准形
线性映射的矩阵表示及矩阵的相似性
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
线性映射的充要条件
矩阵的相似性
设A、B为同阶方阵，若存在可逆矩阵P（过渡矩阵）使得 B=P^（-1）AP ，则称矩阵A相似于矩阵B，或者矩阵A与矩阵B相似。
线性映射及其矩阵表示
在两个空间U，V中可选取适当的基，使得线性映射的表示矩阵为标准形。
维度
设L：U->V相对于关于U中的基和V中的基表示矩阵为A，则 dim（ker（L））=dim（N（A）） dim（range（L））=dim(R(A）） dim（ker（L））+dim（range（L））=dim（U)
平面束p20
空间直角坐标系
八条运算性质
线性性
常见例题
勾股定理 垂心 重心 外心 内心
