函数极限

根据第五版数学分析所攥写的思维导图，便于读者学习和理解

函数极限

• 函数极限的概念
  • x趋于无穷时的极限
    • 
  • x趋于某点时的极限
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    • PS.
      • 1.s依赖于$ 2.不考虑x0是否有意义 3.几何意义
  • 单侧极限的定义
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    • 左右极限定理
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• 函数极限的性质
  • 唯一性
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  • 局部有界性
    • 
  • 局部保号性
    • 
  • 保不等式性
    • 
  • 迫敛性
    • 
  • 局部性
  • 四则运算法则
    • 
    • 证明
      •  
• 函数极限存在的条件
  • 海涅定理
    • lim f(x)=A(x--x0) <=> 任意{xn}，lim xn=x0（n--无穷），且x不等于x0，有lim f(xn)=A (n--无穷）
  • 单侧极限存在定理
    • 1.lim f(x)=A(x--x0+) <=> 对任何以x0为极限的递减数列{xn}属于x0的正空心领域，有lim f(xn)=A(n--无穷） 2.f为定义在x0正空心领域上的单调有界函数，则右极限limf（x)存在
  • 柯西准则
    • 
• 两个重要极限
  • 0/0型
  • 1^无穷 型
  • 常用极限
    • 
• 无穷小量与无穷大量
  • 无穷小量
    • lim f（x）=0 （x--x0）
    • 性质
      • 1.两个相同类型的无穷小量的和差积仍为无穷小量 2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量
    • 推论
      • lim f（x）=A （x--x0） <=>f（x）-A是当x--x0时的无穷小量
  • 无穷小量阶的比较
    • 高阶无穷小量
      • 
    • 同阶无穷小量
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    • 数学表示
      • g为f的低阶无穷小 f（x）=o（g（x））=o（1）g（x） (x--x0) 若满足|f（x）/g（x)|<=L (x--x0) ,则f（x）=O（g（x））（x--x0） 特别地，f在x0的领域上有界，则f（x）=O（1） 甚至f（x）=o（g（x））（x--x0）=> f（x）=O（g（x））（x--x0）
    • 等价无穷小量
      • 
      • 等价关系
        • 
      • 等价代换定理
        • 
      • 常见等价无穷小
        • 
  • 无穷大量
    • 
    • 转换定理
      • 
• 曲线的渐近线
  • 斜渐近线
    • 
  • 垂直渐近线
  • 水平渐近线
• 思想方法
  • 五大性质
  • 定义
    • 合理取值
    • 正反考虑
    • 区间限定
    • 越界考虑
    • 公式变换
    • 条件罗列
  • 海涅定理
  • 左右极限
  • 等价代换
    • 阶的思想
  • 柯西准则
  • 局部性与整体性
  • 反证法
  • 有无定义
  • 小量的运用
  • 自然对数的应用
  • 不等式
• 重要极限
  • x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+……+x+1) [x]-1<=[x]<=x (x>0) 
• 整体性与局部性性
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