函数的连续性

根据第五版数学分析所攥写的思维导图，便于读者学习和理解

数列极限

• 数列极限的概念
  • 定义
    • $-N定义
      • 
    • 有限项定义
      • 
    • 无穷小
      • 
      • 定理
        • {an}收敛于a == {an-a}为无穷小数列
    • 无穷大
      • 
  • 基本性质
    • $的任意性
    • N的相应性 N($)
    • n的不唯一性
• 收敛数列的性质
  • 唯一性
  • 有界性
  • 保号性
  • 保不等式性
  • 迫敛性
  • p25
    • 命题
      • 1.若lim an=a == 平方平均 调和平均 算数平均 的极限均为a 2.若supA=a，a不属于A，存在一单调数列 3.若{xn}使正无穷大数列，存在{xn}的子列{xnk}使得该数列单调且趋向正无穷
  • 四则运算法则
• 数列极限存在的条件
  • 单调有界定理
    • 实数系中，有界单调数列必有极限
  • 致密性定理（Bolzano-Weierstrass)
    • 任何有界数列必定有收敛的子列
  • 柯西收敛准则
    • 任意$>0,存在N>0 s.t.任意n,m>N,有|an-am|<$
  • 柯西发散准则
    • 存在$>0,对任意N>0 存在n,m>N,s.t.|an-am|>$
  • PS.收敛方法
    •  
• 常用极限
  • 
• 思想方法
  • $-N法
    • 退化
    • 换元
      • 伯努利换元
      • 倒数换元
    • 分拆法
    • 合理的特殊化
    • 寻找并罗列子列
      • 
  • 常用极限+四则运算
  • 特征根极限法
  • 数学归纳法
  • 证明存在+寻找极限
  • 图像
  • 反证法
  • 迭代法
  • 同取极限
  • 常用命题
    • 均值不等式极限相等
    • max与min的绝对值表示
    • 单个数的分子分母多项拆分
• Stolz公式
  • 1.{xn}严格递增 2.lim xn=正无穷 3.lim（yn-yn-1)/(xn-xn-1)=a 则lim yn/xn=a PS.可能3不存在
  • ！附（证明）
    •  
• PS.先证极限存在
• 相关命题
  • Euler常数：lim（1+1/2+1/2+……+1/n-lnn)=c
  • 第三节
• ！！概念；Euler级数；极限工具；Euler常数；有界变差数列
  • an>0,lim an+1/an=a => lim an^1/n=a 1+1/2+1/3+……+1/n=ln n+c 
  • 附
• 子列的概念
  • 数列收敛的充要条件：任何子列都收敛
• 相关例题
  •  
  • 第2节