考研数学-高等数学思维导图（下）

考研数学-高等数学思维导图，包含常微分方程、多元微分学、多元积分学、无穷级数页面板块，大家也可以用于备考复习。

常微分方程

• 分类&求解
  • 微分方程
    • 一阶微分方程的求解
      • 能写成
        • 可分离变量的微分方程
        • 齐次微分方程
        • • 一阶线性微分方程
    • 高阶常系数线性微分方程的求解
      • 能写成
        • • 不含x型的可降阶微分方程
        • • 不含y型的可降阶微分方程
        • 常系数线性齐次微分方程
        • 常系数线性非齐次微分方程
  • 差分方程
    • • 求特解
• 微分方程的综合应用
  • 根据题目条件建立微分方程，求解微分方程
    • 用换元法求解微分方程
      • 用求导公式逆用来换元
      • 用自变量来换元
      • 用因变量来换元
      • 用x, y地位互换来换元
  • 求解微分方程得到函数，进一步求解题目要求的结果（比如积分，最值，凹凸性，拐点等）
  • 用几何应用建方程
    • 用曲线切线斜率
    • 用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率
    • 用截距
    • 用面积
    • 用体积
    • 用平均值
  • 用变化率建方程
    • 人口增长问题
    • 曳物线问题（追踪问题）
    • 经济问题
• 解的性质
  • 齐次微分方程的解相加（减）仍是齐次微分方程的解
  • 齐次微分方程的解+非齐次微分方程的解=非齐次微分方程的解
  • 非齐次微分方程的解的差是齐次微分方程的解
  • 两个非齐次微分方程的解的和/2仍是非齐次微分方程的解

多元函数微分学

• 概念
  • 极限
  • 连续
    • 定义
    • 判断
      • 定义法
      • 连续函数的商在分母不为0处仍是连续的
      • 多元连续函数的和差积仍为连续函数
      • 多元连续函数的复合函数也是连续的
      • 一切多元初等函数在其定义域内都是连续的.
  • 可微
    • 定义
    • 判断
      • 定义法
      • 极限法
      • 偏导数、可微、连续的关系
    • 求解微分
      • 定义法
      • 偏导数法
        • z=f(x,y),求dz,则求解对x的偏导，对y的偏导
    • 已知可微
  • 偏导数
    • 定义
      • 一阶偏导数
      • 二阶偏导数
    • 几何意义
    • 连续的判断
  • 连续、偏导、可微之间的关系
  • 闭区域上连续的多元函数函数的性质
• 计算
  • 复合函数求导法
    • 求全微分
      • 方法一：两边求导
      • 方法二：两边微分
    • 已知全微分求参数
    • 全微分逆运算
    • 抽象函数求偏导
    • 具体函数求偏导
    • 求具体点处的偏导数
    • 变换变量求偏导
    • 多元函数与微分方程的结合
      • 根据题目条件结合多元函数知识得到微分方程，求解微分方程
  • 隐函数求导法
    • 隐函数求偏导
    • 隐函数求全微分
    • 隐函数存在定理
      • 定理内容
      • 判断步骤
• 应用
  • 极值与最值
    • 极值
      • 定义
      • 驻点
      • 必要条件
      • 无条件极值求解
      • 有条件极值求解
        • 拉格朗日乘数法
        • 转化为求解一元函数的极值
    • 最值
      • 定义
      • 求解
        • 多元函数的条件最值
        • 多元函数在闭区域上的最值
  • 偏微分方程（含偏导数的等式）
    • 已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)
    • 给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)
    • 给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题

多元函数积分学

• 二重积分
  • 定义
  • 和式极限
  • 几何意义
  • 物理意义
  • 性质
    • 基本性质
    • 普通对称性
    • 轮换对称性
    • 比较定理
    • 二重积分中值定理
      • 应用
        • 求极限
  • 化简计算
    • 直角坐标系
    • 极坐标系
    • 换元法
    • 对称奇偶性求解
    • 学会综合运用上述方法
    • 学会合并累次积分次序
  • 应用
    • 几何应用
  • 学会比较二重积分的大小
  • 学会交换积分次序
    • 画区域，交换次序

无穷级数

• 幂级数
  • 概念与性质
    • 函数项级数
    • 幂级数
      • 定义
        • 缺项幂级数
      • 性质
        • 和函数的性质
        • 幂级数的四则运算
      • 阿贝尔定理
        • 内容
        • 推论
      • 收敛半径的求解
        • • 法一：极限法
        • • 法一：极限法
          • 法二：根植法
        • • 法一：极限法
          • 法二：根植法
      • 收敛域的求解
        • 收敛半径求解出来之后，判断断点处的敛散性
  • 求和
    • 和函数的定义，求和
    • 常用麦克劳林公式
    • 逐项可导
    • 逐项可积
  • 函数展开为幂级数
    • 直接法
    • 间接法
• 常数项级数
  • 基本概念
    • 无穷级数
    • 部分和
    • 级数收敛与发散
  • 性质
  • 级数敛散性的判别
    • 定义法
      • 部分和极限存在，则级数收敛
    • 特殊级数的判别
      • P级数
        • 定义
        • 判别方法
      • 几何级数
        • 定义
        • 判别方法
      • 交错级数
        • 定义
        • 判别方法
      • 正向级数
        • 定义
        • 判别方法
          • 定义法：若级数一般项是数列相邻的两项之差，则一般使用定义法，部分和收敛，则级数收敛
          • 有界性：正向级数收敛的充分必要条件是部分和有界
          • 必要条件：若通项的极限不为0，则不收敛
          • 比较判别法
            • 极限形式
          • 特殊级数判别
          • 比值判别法
          • 根值判别法（柯西判别法）
          • 积分审敛法
      • 任意项级数
        • 定义
        • 判别
          • （添加括号提高级数的收敛性） 若一个级数收敛，则任意添加括号后的级数也收敛，反之，若添加括号后级数收敛，原级数不一定收敛
          • 级数增加、减少、改变有限项不改变级数的敛散性，改变级数的和
          • 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，其他的结果不确定.
      • 学会综合多种判别法判别级数敛散性
    • 绝对收敛与条件收敛
      • 定义
      • 性质
        • 绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛
        • 绝对收敛+条件收敛=条件收敛
        • 绝对收敛×收敛=绝对收敛
      • 定理