《高等代数》第二章

《高等代数》第二章 ,行列式知识点总结，包括排列，N阶行列式，N阶行列式性质，行列式的计算，拉普拉斯定理等等内容点梳理。

第二章

• 行列式
  • 排列
    • n阶排列（可以是任何数，但是不可以重复）；自然顺序（从小到大）
    • 逆序：逆序数（逆序出现的个数）
      • 偶数：偶排列
      • 奇数：奇排列
    • 对换：对于任意一个排列，对换改变奇偶性
      • 偶数次对换属性不变
      • 奇数次对换属性改变
      • 对换的写法：
    • 推论1：在全部n阶排列中n!个中，奇偶排列的个数相等，各有n!/2个
    • 推论2：任意一个n阶排列与排列12...n都可以经过一系列对换互变，并且所做对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
  • n阶行列式
    • 计算时
      • 不同行不同列元素构成的乘积，将行（列）指标排成自然顺序，列（行）指标的逆序数决定此项符号（列（行）指标是12...n的一个排列）
      • 不同行不同列元素构成的乘积，决定符号的是行指标与列指标的逆序数之和
    • n阶行列式共有n!项
  • n阶行列式性质
    • 1.行列式转置，其值不变
    • 2.提取公因式，只提一行即可；一行为零，行列式值为零
    • 3.某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和（可以拓广到某一行为多组数的和的情形）
      • 大拆分法，小拆分法
        • 大拆分法：涉及行列式分解
        • 大拆分法注意：
        • 小拆分法：涉及等差数列
      • 例：一种题的三种解法
        • 大拆分法：
        • 小拆分法：
        • 课本方法：
    • 4.两行相同，其值为零
    • 5.两行成比例，其值为零
    • 6.一行倍数加到另一行，其值不变
    • 7.互换两行位置，行列式反号
    • 注意：n阶行列式一共有n!项，计算它需要做n!(n-1)个乘法
  • 行列式的计算
    • 初等变换
      • 数域P上矩阵的初等行变换
        • P中一个非零的数乘矩阵的某一行
        • 矩阵某一行的c倍加到另一行，c是P中任意一个数
        • 互换矩阵中两行的位置
      • 数域P上矩阵的初等列变换
      • 计算行列式，可以同时使用初等行变换和初等列变换；
        • 求方程组的解时，用的是矩阵，不是行列式，行列式唯一作用就是求值；
        • 矩阵有关方程组解，只可进行行变换，不可进行列变换
    • 对方阵每做一次初等行变换，相应行列式或者不变或者差一非零的倍数
    • 注意：化阶梯形矩阵（一定到最简才算化成），计算n阶行列式只需要做（n^3+2n-3）/3次乘法和除法
    • 奇数阶反称行列式等于零
      • 行列转置，其值不变，n为奇数，其值为零
  • 行列式按一行（列）展开
    • 余子式Mij
    • 代数余子式Aij 【 Aij=[(-1)^(i+j)]Mij】得到逆序数改变成加法的原理
    • 计算方法
      • 在行列式中，一行的元素与另一行相应的元素的代数余子式的乘积之和为零
    • 范德蒙德行列式的计算（归纳法）
      • 范德蒙德行列式为零的充分必要条件是在a1...an中至少有两个数相等
    • （类似于总对角矩阵）
      • i think 总下三角矩阵的行列式=对较上矩阵行列式的乘积（归纳法）
  • 克拉默法则
    • 解方程组：系数矩阵的行列式（分母≠0），将解放在不同的位置上的行列式（分子），得到解
    • 意义：给出了解与系数的关系
      • 齐次线性方程组
        • 系数行列式不为零，只有零解
        • 系数行列式为零，有零解，也有非零解
    • 计算次数：需要计算n+1个n阶行列式
  • 拉普拉斯定理
    • D=MA（与t有关）
      • M：选定k阶和k列得到的k阶子式
      • M'：k阶子式的余子式
      • A：k阶子式的代数余子式，系数与M选定的行和列有关
      • D=M1A1+M2A2+...+MtAt
    • 拉普拉斯定理的证明
      • 证明左右两边项数相等
        • 左边直接n！项
        • 右边根据t ,M,A得到n!项
    • 补充定理
      • 两个n阶行列式的乘积等于一个n阶行列式（数值=数值）证明差不多ok