《高等代数》第三章

《高等代数》第三章 ,线性方程组知识点总结，内容涵盖消元法，N维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程有解判定定理，线性方程组解的结构。

第三章

• 线性方程组（矩阵）
  • 消元法（反复施行初等变换）
    • 线性方程组的初等变换
      • 1.非零数乘某一方程 2.把一个方程组的倍数加到另一个方程 3.互换两个方程的位置
    • 初等变换总是把方程组变为同解的方程组
    • 经历消元法之后，化线性方程组到最简（r），引入增广矩阵概念(n)
    • 对于齐次线性方程组，在未化简时，方程组个数(s)小于未知量个数(n),s<n,存在非零解
  • n维向量空间
    • 不值钱的向量规律
    • n维向量全体，以数域P中的数作为分量，考虑不值钱的向量规律，成为n维向量空间
    • 几何意义
  • 线性相关性
    • 向量组等价：两个向量组可以相互线性表出
      • 向量组的等价具有的性质：自反性，对称性，传递性
    • 线性
      • s≥2
        • 相关性
          • 向量组中一个向量可以由其它不为零的向量线性表出
          • 不全为零
        • 无关性
          • 全为零
          • 任何一个非空的部分组线性无关
      • s=1
        • 向量为零向量，线性相关
        • 向量为非零向量，线性无关
      • 易混点
        • 向量个数（部分向量组）：部分向量线性相关，全部向量线性相关；全部向量线性无关，部分向量线性无关
        • 维度分量（部分分量）
          • 线性相关向量组加上有限个分量构成的向量组不一定线性相关； 线性相关的向量组中部分分量构成的向量组一定是线性相关的；线性无关的向量组加上有限个分量构成的向量组也是线性无关；线性无关的向量组中部分分量构成的向量组不一定线性无关；
    • 源泉定理
      • 在同维两个向量组中，向量个数多的向量组可由向量个数少的向量组线性表出，则向量个数多的向量组线性相关
      • 推论1：在两个同维的向量组中，包含r个向量的向量组可经包含s个向量的向量组线性表出，但r个的向量组线性无关，则r≤s
      • 推论2：任意n+1个n维的向量必线性相关
      • 推论3：两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量
    • 极大线性无关组
      • 这个向量组线性无关，再添加任意一个向量线性相关（且有唯一表示方法）
        • 基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价
      • 推论
        • 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身
        • 一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的
        • 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量
        • 不唯一，但任意两个之间等价
      • 秩：极大线性无关组包含的向量的个数
        • 线性无关的充要条件秩与包含向量个数相同
  • 矩阵的秩
    • 秩=行秩=列秩=阶梯型矩阵非零行的个数（矩阵初等行/列变换不改变）
      • 可以在阶梯型矩阵中找到原矩阵的极大线性无关组
    • 子式：s×n矩阵A有k级CskCnk个行列式（第二章第八节，行列式D有k阶子式，选取方式相同）
      • 矩阵中最高阶非零子式的阶数为矩阵A的秩
  • 线性方程组有解判定定理
    • 判断题：有解的充分必要条件是r(系数矩阵)=r(增广矩阵)；有唯一解的充分必要条件是系数矩阵的秩不为零
    • 化简完到阶梯形矩阵进行讨论
      • 1. 方程组个数＞未知量个数 齐次的只有零解 非齐次的都无解 2. 方程组个数=未知量个数（r(A)=r(A,b)） 齐次线性方程组系数矩阵行列式|A|≠0，有且只有零解 非其次线性方程组系数矩阵行列式|A|≠0，有且仅有唯一的非零解 3. 方程组个数<未知量个数 齐次线性方程组系数矩阵行列式|A|=0，自有（r(A)=r(A,b)）,有无穷多个解 非齐次线性方程组系数矩阵行列式|A|=0,（r(A)=r(A,b)）有无穷多个解 非齐次线性方程组系数矩阵行列式|A|=0,（r(A)≠r(A,b)）无解 总结： 系数矩阵的行列式不等于0时，齐次方程只有0解，非齐次方程组有唯一解。 系数矩阵的行列式等于0时，齐次方程有无穷多解，非齐次方程组未必有解， 但是有解的话必定是无穷多解。
  • 线性方程组解的结构
    • 不对有唯一解的情况进行讨论
    • 只对无穷解的情况进行讨论(方程组个数＜未知量个数)
      • 齐次线性方程组： 1.一个方程组的两个解的和仍是方程组的解 2.一个解的倍数还是方程组的解 3.有基础解系的存在(解不唯一，但等价)
      • 非齐次线性方程组：1.一个方程组的两个解的差是导出组的解2.线性方程组的解与导出组的解之和仍是线性方程组的解 3.同样有基础解析的存在(唯一解;充分必要;导出组只有零解)