《高等代数》第四章

《高等代数》第四章 ,详细的总结了矩阵背景，矩阵的运算，矩阵乘积的行列，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用举例。

第四章

• 矩阵
  • 矩阵背景
    • 1.解析几何坐标变换2.二次型对应矩阵3.调运方案问题4.n维向量对应
  • 矩阵的运算
    • 1.加法:同型矩阵对应元素相加
      • |A+B| ≠ |A|+|B| |A+B| 比 |A|+|B|多2^n-2个行列式
      • 满足结合律,交换律，有零矩阵,负矩阵
      • 加法对应秩的性质：r(A+B)≤r(A)+r(B)
        • 向量组线性相关的理论：源泉定理可证明 矩阵的理论：用分块矩阵的
    • 2.乘法
      • 满足结合律，分配率，不满足交换律
        • AB≠BA 根据s×n，不一定能相乘 即使可以相乘，得到的不一定是同型的矩阵
      • 方幂
        • 一个A(n×n)矩阵，A^l×A^k=A^(k+l) , (A^k)^l=A^kl
        • 在矩阵AB维度匹配的情况下，例如A[r行s列]，B[s行r列]，有 (AB)^n=ABAB...AB=A(BA)^(n-1)*B 当r=s即AB同为r阶方阵，且AB=BA时，(AB)^n=A^n*B^n 当r=s即AB同为r阶方阵，但AB≠BA时，不一定有(AB)^n=A^n*B^n 当r≠s时，(AB)^n得到一个r阶方阵，A^n*B^n需要给出定义。
          • 注，试构造AB≠BA、n≥3时，(AB)^n=A^n*B^n的特例。
      • 一个n阶矩阵与所有n阶矩阵作乘法是可交换的，这个矩阵一定是数量矩阵
    • 3.数量乘法:数乘矩阵的每一个元素，有不值钱的规律
    • 4.转置：对有s×n类型的矩阵
  • 矩阵乘积的行列式
    • 公式：|AB|=|A||B| 可推广到多个n阶行列式
    • 矩阵A非退化，|A|≠0；矩阵A退化，|A|=0
      • 矩阵AB为退化的充要条件A，B至少有一个矩阵是退化的
    • 乘积对应秩的性质：r(AB)≤min[r(A),r(B)] 可推广到多个
  • 矩阵的逆
    • 暗含矩阵非退化
    • 逆：n阶方阵A可逆，则有唯一的n阶方阵B，使AB=BA=E,则B为A的逆，记作A^(-1)，同时互逆
    • 逆与伴随矩阵:（矩阵每个元素对应位置的是其代数余子式）的转置
      • 2阶的转置，主对调，负变号
      • 公式：AA*=AA*=dE（d=|A|）
        • 利用这个公式求解矩阵的逆 A（1/dA*）=（1/dA*）A=E 则A是可逆的充分必要条件是： （分母不等于零）=d=|A|≠0；即A非退化 且A的逆=（1/dA*）
        • 矩阵逆的求法1
      • 上三角伴随矩阵仍是上三角
    • 逆的行列式：若d=|A|≠0，|A的逆|=1/d
    • 可逆用法
      • 克拉默法则新的推导方式
      • 任何型的矩阵A×可逆矩阵，不改变A的秩
      • 若可逆，下三角矩阵的逆仍是下三角，上三角矩阵的逆仍是上三角
  • 矩阵的分块
    • 矩阵分块：可利用其求普通矩阵的逆矩阵
      • 过程：普通矩阵→分块矩阵→（经过待定系数法）分块矩阵的逆矩阵→普通矩阵
        • 分块矩阵逆的求法1
    • 准对角矩阵的分块
      • 同型且分块同阶的两个准对角矩阵满足加法和乘法
      • 准对角矩阵的逆对应对角线上的每个分块的逆
      • 对角矩阵是其特殊情形
  • 初等矩阵
    • 单位矩阵经历一次初等变换（第二章：行列式的计算）得到的初等矩阵
      • 对调:P(i,j)
      • i行乘c:P(i(c))
      • j行k倍加到i行:P(i,j(k))
      • 初等矩阵是可逆的
        • P(i,j)
        • P(i(1/c))
        • P(i,j(-k))
    • 对s×n的矩阵A做初等变换
      • 左乘变行，右乘变列
      • 若A与矩阵B等价,B可经A初等变换得到(也是充要条件)
        • A与标准型等价（标准型主对角线元素只有1,1的个数=r(A)）
    • （A E）=(E A^-1)
      • 矩阵逆的求法2
  • 分块乘法的初等变换及应用举例
    • 分块矩阵也有初等变换（同初等矩阵）
    • 设T为分块矩阵，E在此处也为分块矩阵（T E）=(E T^-1)
      • 分块矩阵逆的求法2
    • 用分块矩阵证明：|AB|=|A||B| （分块矩阵是事先给定的）
    • 可用下三角形矩阵×普通矩阵=上三角形矩阵