《高等代数》第五章

《高等代数》第五章 ,详细的总结了二次型及矩阵表示，标准形，唯一性，正定二次型。帮助小伙伴快速掌握二次型的内容考点！

第五章

• 二次型
  • 二次型及矩阵表示
    • 二次型和它的矩阵唯一确定
      • 二次型的矩阵A是对称矩阵
    • n阶矩阵A,B合同:B=C'AC (B也是对称矩阵)
      • [经X=CY(C是非退化的)] 排除掉二次型，合同变换没要求矩阵A,B对称，也没要求在哪个数域
      • 合同性质：自反性，对称性，传递性，是特殊的等价
      • A到B的过程称为合同变换
      • 已知A,B，求非退化线性变换C
      • 合同矩阵A,B有相同的秩
        • 二次型矩阵的秩为二次型的秩
      • 变式:对称矩阵改为反称矩阵
        • 反称矩阵对应的多项式为零多项式
        • 合同变换之后结果不改
    • X=CY, Y=C-1X 作用二次型还原
  • 标准形(不唯一)
    • 经过合同得到
    • 任一二次型经非退化线性替换变为标准形（只有平方项形式）
      • 非退化线性变换不改变矩阵的秩
      • 1.任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵
      • 过程：
        • 线性变换语言：先配方，再归纳
        • 矩阵语言
      • 已知A,未知B，但要求把B化成对角矩阵形式，求非退化线性变换C
  • 唯一性
    • 规范形(唯一)
      • 经过合同得到
      • 实数域上规范形唯一
        • 对角线元素只有1，-1，0
        • 惯性定理：两次假设经过非退化线性替换只为测定1，-1的个数是唯一的（p=q），即证规范形唯一
        • 在实二次型的规范形中（秩为r）
          • 正惯性指数：正平方项的个数p
          • 负惯性指数：负平方项的个数r-p
          • 符号差：p-(r-p)=2p-r
      • 复数域上规范形唯一（对角线元素只有0，1）
        • 两个复对称矩阵合同 充要 秩相等
        • 复数域上二次型所对应的矩阵中会有复数
  • 正定二次型
    • 在实二次型中进行讨论
      • 非退化实线性替换保持正定型不变
    • 正定二次型: 对任一不全为零的自变量组，都有f>0
      • 判定条件
        • 充要条件：化为规范形，对角线上元素都>0
        • 充要条件：对任一不全为零的自变量组，都有f>0
        • 充要条件：n元实二次型，正惯性指数为n
        • 充要条件：矩阵的顺序主子式全大于零
    • 正定矩阵
      • 如果二次型X'AX正定, 则对应的实对称矩阵称为正定矩阵
      • 判定方式：一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同
      • 推论：正定矩阵行列式大于零
    • 其它
      • 半正定： 正定是特殊的半正定
      • 负定，半负定
      • 不定的：既不是半正定，也不是半负定