《高等代数》第六章

《高等代数》第六章 ,线性空间知识点总结，包括线性空间的定义与简单性质，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，线性空间的同构。小伙伴们赶快学习起来吧~

第六章

• 线性空间
  • 集合，映射
    • 映射：M→M'
      • 例
        • 数到数；矩阵到数；数到矩阵；函数到函数；单位映射/恒等映射：每个元素映射到自身
      • 种类
        • 单位映射/恒等映射，复合映射，逆映射，1—1对应/双射（满足既单又满）
      • 满足的性质
        • 映射的乘法满足结合律
    • 变换：M→M
  • 线性空间的定义与简单性质
    • 按照特定的运算方式满足8条，有V为数域P上的线性空间
      • 加法：交换结合零与负其他：单位结合混合乘
      • 性质：零元和负元唯一
    • 实例
      • 数域P上多项式环P[x]，按其运算方式构成P上的线性空间
        • 环：集合R和定义于其上的二元运算 （R,+,×）
      • P[x]n: 次数小于n-1的多项式，添上零多项式
      • 元素属于数域P上的m×n矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法
      • 全体实函数，函数的加法和数与函数的数量乘法，构成实数域上线性空间
      • P^n
  • 维数，基，坐标
    • 根据线性无关向量个数
      • 有限维
        • 在V中可找到任意有限个线性无关的向量
        • n维：P[x]n,或n元数组，或P^n 三维：几何空间
      • 无限维
        • 在V中可找到任意多个线性无关的向量
        • 实系数多项式所成的线性空间
    • 基与坐标的关系
      • 在不同基下对应的坐标不同：P[x]n在常见基和泰勒展开式基下的坐标不同
      • 坐标（也就是系数）是被向量和基唯一确定的
    • 注意：维数和数域有关
      • 1维：复数域看成复数域上的线性空间
      • 2维：复数域看成实数域上的线性空间
        • V：复数域C V：实数域R P：实数域R P：复数域C 基为 1，i 若取k=i∈P ， ∵k∈P , α=1∈ R ∴k1×1+k2×i=0 则kα=i∉R k1=k2=0 不满足封闭性 ∴1和 i 线性无关 无法构成线性空间 2维
  • 基变换与坐标变换
    • 无
  • 线性子空间
    • V中非空子集W，满足八条，W成为V的线性子空间
      • 类型
        • 零子空间：线性空间中，单个零向量所组成的子集合是一个线性子空间
        • 平凡子空间：零子空间和线性空间本身
        • 非平凡子空间：除平凡子空间之外的
        • 真子空间：零空间和非平凡子空间
      • 实例
        • 全体实函数组成的空间中，所有实系数多项式组成子空间
        • P[x]n（n维）是线性空间P[x]（无限维）的子空间
        • 齐次线性方程组的全部解向量构成的解空间是P^n的子空间
      • V的子空间W包含向量 α1，α2，...,αr, 记为L(α1，α2，...,αr), 为α1，α2，...,αr的所有线性组合
      • 子空间与子空间的关系
        • 两个向量组生成相同子空间 充要条件 这两个向量组等价
        • L(α1，α2，...,αr)的维数=r(α1，α2，...,αr)
      • 子空间与空间关系：可扩基
  • 子空间的交与和
    • 知识点
      • 子空间的交是子空间
        • 交满足规律：交换律，结合律（可扩展多个）
      • 子空间的和是子空间
        • 交满足规律：交换律，结合律（可扩展多个）
        • 注解：它们的和属于它们和空间里
      • 子空间的并不是子空间
    • 实例
      • 1.三维几何：V1过原点的直线；V2通过原点与V1垂直的平面；交为零元，和为整个空间
      • 2.两个齐次方程组的解空间的交 为 两个组合成一个组的解空间
      • 3. i think a little problem: L(α1，α2，...,αr)+L(β1，β2，...,βr)=L(α1，α2，...,αr，β1，β2，...,βr)
    • 交与和维数关系：维数公式
      • dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
      • 若n维线性子空间V1,V2的维数之和＞n,则V1,V2必含有非零的公共向量
  • 子空间的直和
    • 直和定义
      • 直和V1+V2中每个向量α的分解式是唯一的
        • 没有圈和加号的结合体，只能用直和V1+V2代替
    • 直和判别直和V1+V2充要
      • 根据定义
        • 零向量分解式唯一
          • V1∩V2={0}
            • dim(直和V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)
    • 直和判别直和多个子空间
    • 推论：V的子空间U，必有补空间W，构成直和V=直和U+W
  • 线性空间的同构
    • 同构映射
      • 映射保持不变，要求双射，自变量不同，满足线性性，称V与V'同构
      • 空间：自变量所在空间V和映射函数值所在空间V'
      • 实例
        • 恒等映射
        • 向量与它的坐标；即V到P^n的一个映射
        • 每一个数域P上n维线性空间都与n元数组所成的空间P^n同构，∵同构的对称性和传递性，数域P上任意两个n维线性空间都同构
    • 写法：
    • 同构映射性质
      • 自反性，对称性，传递性
      • 可以保持线性关系不发生改变（线性无关，同构映射之后，仍线性无关）
      • α1，α2，...,αr线性相关 充要条件 σ(α1) ,σ(α2), ..., σ(αr)线性相关
      • 对于W是V的线性子空间，σ(W)是σ(V)的子空间，且W与σ(W)因为子空间原因保持线性性，即W与σ(W)是同构映射
      • 同构映射的逆和同构映射的乘积仍是同构映射
    • 充要条件：有相同维数
    • 在有限维的基础上展开，无限维不定