高等数学第一章函数的极限

南京理工大学高等数学 ， 详细的总结了 自变量趋向于无穷大时的函数极限，自变量趋于有限值时函数的极限，函数极限的性质等等知识点梳理。

函数的极限

• 自变量趋向于无穷 大时的函数极限
  • 正无穷（a , +∞）
    • 定义：ε 语言（参考数列极限）
    • 证明：同上
  • 负无穷（-∞ , b）
    • 定义：任意ε ，X仍正，x＜-X(-X ＜b)
  • 正负无穷 绝对值x＞a
    • 定义：任意ε，X仍正，绝对值x＞X
    • 充分必要条件：x趋向于正负无穷的极限都等于A
• 自变量趋向于有限 值时函数的极限
  • x趋向于x。时函数的极限
    • 建立值域与定义域之间的关系
  • 函数的右，左极限
    • 定理1：充分必要条件：x趋向于x。时左右极限存在并都等于A
      • 如求分段函数的左右极限
  • 函数极限与数列极限的关系
    • 定理2：函数的子数列极限收敛于x。的极 限是一样的，互为充分必要条件
      • 证明sin1/x收敛于0的极限不存在
        • 取Xn＝1/nπ和2/(4n+1)π的极限不相同 所以极限不存在
• 函数极限的性质
  • 定理3：唯一性
  • 定理4：有界性：x趋向于x。时以A为极限，则存在正数δ， 使得函数在点x。的去心δ邻域内有界
  • 定理5：保号性：极限＞0，极限附近足够小的函数值＞0
    • 定理6：在点x。的某个去心邻域内函数值≥0(或≤0)， 则必有A≥0(或A≤0)
• 极限存在准则、两个重要极限
  • 夹逼准则
    • 例1：n的n次方根趋向于+∞的极限为1(把n提出来)
    • 例2：无穷项和(大于n个最小，小于n个最大)
  • 两个重要极限
    • sinx/x，x趋向于0的极限等于0

函数的极限

• 自变量趋向于无穷 大时的函数极限
  • 正无穷（a , +∞）
    • 定义：ε 语言（参考数列极限）
    • 证明：同上
  • 负无穷（-∞ , b）
    • 定义：任意ε ，X仍正，x＜-X(-X ＜b)
  • 正负无穷 绝对值x＞a
    • 定义：任意ε，X仍正，绝对值x＞X
    • 充分必要条件：x趋向于正负无穷的极限都等于A
• 自变量趋向于有限 值时函数的极限
  • x趋向于x。时函数的极限
    • 建立值域与定义域之间的关系
  • 函数的右，左极限
    • 定理1：充分必要条件：x趋向于x。时左右极限存在并都等于A
      • 如求分段函数的左右极限
  • 函数极限与数列极限的关系
    • 定理2：函数的子数列极限收敛于x。的极 限是一样的，互为充分必要条件
      • 证明sin1/x收敛于0的极限不存在
        • 取Xn＝1/nπ和2/(4n+1)π的极限不相同 所以极限不存在
• 函数极限的性质
  • 定理3：唯一性
  • 定理4：有界性：x趋向于x。时以A为极限，则存在正数δ， 使得函数在点x。的去心δ邻域内有界
  • 定理5：保号性：极限＞0，极限附近足够小的函数值＞0
    • 定理6：在点x。的某个去心邻域内函数值≥0(或≤0)， 则必有A≥0(或A≤0)
• 极限存在准则、两个重要极限
  • 夹逼准则
    • 例1：n的n次方根趋向于+∞的极限为1(把n提出来)
    • 例2：无穷项和(大于n个最小，小于n个最大)
  • 两个重要极限
    • sinx/x，x趋向于0的极限等于0