高等数学求(证明)极限方法

南京理工大学高等数学，内容涵盖四则运算，单调有界准则，技巧，等价无穷小替换。有需要的小伙伴可以看看哦~

求(证明)极限方法

• 单调有界准则（证明极限存在）
  • 不要证
  • 单调增加（减少）有上（下）界的数列必有极限
    • 证明n重根式
      • 数学归纳法
        • 极限求重根式
        • 证明n=1成立，假设n=k成立，推出n=k+1成立
    • 设极限为a，代入递推数列，解方程组得到极限a
  • 证明重要极限存在：二项式定理打开+放缩
    • 利用重要极限间接求极限
• 夹逼准则(证明极限存在)
• 四则运算
  • 条件：极限存在，用于计算有限数列，分母不为0
  • 函数极限的四则运算
    • 0/0型
      • 消去零因子法
    • ∞/∞型
    • 复合函数求极限
      • 变量替换思想
        • 变形
        • 令u＝xx
        • 把x趋向于xx变成u趋向于xx
• 无穷小量性质定理123及其推论
• 分段函数在分段点求(或证明)极限
  • 用函数的左右极限，写两个表达式
• 夹逼准则
• 等价无穷小替换
  • 10个等价无穷小
  • 和差不能替换，乘除可以
• 技巧
  • 因式分解
  • 有理化分子
  • 立方差公式
    • 特征：看到根号下三次方等等
  • 和差化积
    • sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
  • 积化和差
    • sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
  • 分类讨论
    • 幂函数：x的n次方
  • 分子分母颠倒
  • 换元
  • 指对互换
  • 幂指函数

求(证明)极限方法

• 单调有界准则（证明极限存在）
  • 不要证
  • 单调增加（减少）有上（下）界的数列必有极限
    • 证明n重根式
      • 数学归纳法
        • 极限求重根式
        • 证明n=1成立，假设n=k成立，推出n=k+1成立
    • 设极限为a，代入递推数列，解方程组得到极限a
  • 证明重要极限存在：二项式定理打开+放缩
    • 利用重要极限间接求极限
• 夹逼准则(证明极限存在)
• 四则运算
  • 条件：极限存在，用于计算有限数列，分母不为0
  • 函数极限的四则运算
    • 0/0型
      • 消去零因子法
    • ∞/∞型
    • 复合函数求极限
      • 变量替换思想
        • 变形
        • 令u＝xx
        • 把x趋向于xx变成u趋向于xx
• 无穷小量性质定理123及其推论
• 分段函数在分段点求(或证明)极限
  • 用函数的左右极限，写两个表达式
• 夹逼准则
• 等价无穷小替换
  • 10个等价无穷小
  • 和差不能替换，乘除可以
• 技巧
  • 因式分解
  • 有理化分子
  • 立方差公式
    • 特征：看到根号下三次方等等
  • 和差化积
    • sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
  • 积化和差
    • sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
  • 分类讨论
    • 幂函数：x的n次方
  • 分子分母颠倒
  • 换元
  • 指对互换
  • 幂指函数