多元函数微分及其应用

多元函数微分及其应用的思维导图，整理了 多元函数的基本概念、偏导数、全微分及其应用、复合函数的微分法与隐函数的微分法、二元函数的极值的内容，喜欢的可以点个赞收藏一下哟~

多元函数微分及其应用

• 多元函数的基本概念
  • 区域
    • 领域
    • 内点、外点、边界点
      • x的内点一定属于x
      • x的外点一定不属于x
      • x的边界点可能属于x
    • 开集、闭集
    • 有界点集、无界点集
    • 连通集、非联通集
    • 开区域、闭区域
  • 多元函数的定义
    • 定义
      • z=f(x,y),(x,y)∈D
      • 求定义域
    • 几何意义
  • 多元函数的极限
    • lim x→x0,y→y0 f(x,y)=A或f(x,y)→A ((x,y)→(x0,y0))
    • 二元函数的极限（二重极限）不存在的判定：当（x,y）以不同方式趋于(x0,y0）时，函数趋于不同值，则该多元函数的极限不存在
  • 多元函数的连续性
    • 若lim (x,y)→(0,0) f(x,y)=f(x0,y0)，则称z=f(x,y)在P0(x0,y0)连续，否则间断
• 偏导数
  • 偏导数的定义和几何意义
    • 定义
      • △xz=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处x的偏改变量或偏增量
      • △z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的全改变量或全增量
      • ∂z/∂x|x=x0,y=y0; ∂f/∂x|x=x0,y=y0;zx'|x=x0,y=y0或fx'(x0,y0)
    • 几何意义
  • 高阶偏导数
    • 二阶以上统称为高阶偏导
• 全微分及其应用
  • 全微分的定义
    • dz=df(x,y)=A△x+B△y
    • dz=fx'(x,y)△x+fy'(x,y)△y
    • 偏导数存在且连续→可微→连续或偏导数存在
  • 全微分在近似运算中的应用
    • △z≈dz=f'(x,y)△x+fy'(x,y)△y
• 复合函数的微分法与隐函数的微分法
  • 复合函数的微分法
    • 二元复合函数求导法则
      • 链式法则：同线相乘，异线相加
    • 二元复合函数求导法则的推广和变形
      • 全导数
  • 全微分形式不变性
    • dz=∂zdu/∂u+∂zdv/∂v
  • 隐函数的微分法
    • 直接求导法
    • 公式法
      • 如果∂F/∂y≠0,则由F[x,f(x)]=0,有∂F/∂x+∂Fdy/∂ydx=0, 可得dy/dx=(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-Fx'/Fy'
• 二元函数的极值
  • 二元函数极值的定义和定理
    • 极值存在的必要条件
      • 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,fx'(x0,y0)=0,fy'(x0,y0)=0
    • 极值存在的充分条件
      • 如果AC-B²>0,且f''xx(x0,y0)<0,则f(x0,y0)是极大值
      • 如果AC-B²>0,且f''xx(x0,y0)>0,则f(x0,y0)是极小值
      • 如果AC-B²<0,则f(x0,y0)不是极值
      • 如果AC-B²=0,且f(x0,y0)是否为极值需另发判别
  • 条件极值与拉格朗日乘数法
    • 构造拉格朗日函数
    • 求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与约束条件联立解出，得到可能极值点
    • 判别