高数第三章微分中值定理与导数的应用

考研党必备高数干货思维导图！考研数学是重中之重难中之难，这份高数第三章微分中值定理和导数的应用 总结快收下吧！包括微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极大值与极小值和曲率等内容，赶快收藏学起来吧！

微分中值定理与导数的应用

• 微分中值定理
  • 费马引理 结论 可导 函数的极值点一定是驻点
    • 费马引理的证明 用到了函数极限的有界性与保号性，转化为求点处的极限，又由导数存在的定义与极限存在准则（夹逼准则）分析 dx 大于与小于 0 的情况，最后得证。
  • 可以看出微分中值定理与函数的构造 密不可分
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理
• 洛必达法则
  • 未定式的类型
• 泰勒公式
  • 联系第二章 函数的近似计算（函数的微分）
  • 泰勒中值定理Ｉ 函数 n 阶可导， n 阶展开，余项是佩亚诺余项 Rn （ x ） =o （ x-xn ）的 n 次幂，展开式称为佩亚诺余项 n 阶泰勒公式，当 xo=0 时则为带佩亚诺余项的麦克劳林公式
  • 泰勒中值定理 II 函数n+1阶可导，n阶展开，展开式当xo=0时称为带有拉格朗日余项的麦克劳林展开式
• 函数的单调性与曲线的凹凸性
  • 函数单调性的判定法 用拉格朗日证明 若在某开区间内导数横大于 0 ，那么 f （ x2 ）恒大于 f （ x1 ），小于 0 同理。
    • 定理 1
  • 曲线的凹凸性与拐点
    • 曲线的凹凸性
      • 定义 几何定义
      • 定理 2 导数判断凹凸性 若 f ＂( x ）＞ 0 则凹，若 f ＂( x ）＜ 0 ，则凸。
        • 证明 用拉格朗日中值定理证明
    • 拐点 函数凹凸性改变就叫拐点
• 函数的极大值与极小值
  • 定义 函数 f （ x ）在点 xo 某领域内有定义，如果对任意 x 属于此去心邻域， f （ x ） <f （ xo ）成立，此点就为极大值，极小值同理。
  • 定理 I （必要条件）
    • 函数在 xo 处可导且在 xo 处取得极值》》 f ‘（ xo ） =0
  • 定理 II （第一充分条件）几何判断法
  • 定理 III （第二充分条件）导数判断法 f ’( x ) =0 ，若 f ＂ ( x ）＞ 0 则为极小值，若 f ＂ ( x ）＜ 0 ，则为极大值。
    • 证明 利用二阶导数存在的定义与函数极限的局部保号性，再由定理 II 证得
• 曲率
  • 弧微分
  • 要求掌握对应的概念与公式
  • 曲率
  • 曲率圆与曲率半径
• • 利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理 构造函数利用拉格朗日定理的几何解释来构造，即曲线纵坐标与直线纵坐标距离，可以看到 AB 两点距离为 0 ，满足罗尔定理，则对构造函数使用罗尔定理就可以证明拉格朗日中值定理