第九章 无穷级数

考研数学-高数部分-第九章 无穷级数 知识框图， 24考研结束前持续更新，完善

第九章 无穷级数

• 无穷(常数项)级数
  • 定义
  • 等比(几何)级数
  • 常数项级数的5个性质
• 常数项级数审敛法
  • 正项级数及其敛散性
  • 交错级数及其敛散性
  • 任意项级数及其敛散性
• 幂级数求和与展开
  • 函数项级数
    • 函数项级数定义
      • 函数数列{Uₙ(x)}
      • 函数项级数：
    • 函数项级数相关概念
      • 收敛点与发散点
      • 收敛/发散域和收敛/发散区间
      • 收敛半径
        • 收敛区间的一半长度称为收敛半径
        • 【注】
          • 已知收敛中心点+收敛半径➩收敛区间 ×→×收敛域
      • 和函数
        • 【注】
          • 和函数的定义域为函数级数的收敛域
    • 函数项级数收敛域的求解(幂级数)
      • 绝对收敛法： ST1：加绝对值变为正项级数 ST2：利用比值审敛法求＜1的x范围，即收敛区间→收敛半径 ST3：判定端点处的敛散性，得收敛域 Note：注意展开中心点
  • 幂级数及其敛散性
    • 幂级数定义
    • 阿贝尔定理(注意展开中心点)
      • 【注】
        • 条件收敛点一定是收敛发散的分界点
    • 幂级数收敛域求解
      • 【注】
        • 法二仅适用于标准幂级数，缺项幂级数使用法一
  • 幂级数性质
    • ①和函数的连续性： 幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续
    • ②幂级数的逐项可导性： 幂级数在其收敛区间(-R，R)内可逐项求导 且收敛半径，中心点，收敛区间不变
    • ③幂级数的逐项可积性： 幂级数在其收敛域上可逐项积分(变限积分) 且收敛半径，中心点，收敛区间不变
    • 【注】
      • 求导与积分后，n起始值的变化
    • ③角标变换：一升一降
    • 【考】
      • 如何求S(0)：带0留下常数项，则S(0)＝常数项；否则，S(0)＝0
  • 函数展开成幂级数
    • 本质：和函数→幂级数的转换
    • 泰勒级数与麦克劳林级数
    • 6个常用麦克劳林级数
    • 幂级数展开方法
      • 【考1】在x＝0处展开：直接套已知麦克劳林级数
      • 【考2】在x＝x₀处展开：将x-x₀视为整体，再套已知麦克劳林级数 注意此时收敛域为x-x₀的范围
  • 幂级数求和
    • 三段论，模式题
    • 本质：幂级数→和函数的转换
    • 方法
      • 型一：先导后积
      • 型二：别人的导
      • 【注】先确定级数收敛域，若定义域有闭区间，最后记得检验端点
• 常数项级数敛散性判定思路
  • 必要条件：通项极限＝0？

第九章 无穷级数

• 无穷(常数项)级数
  • 定义
  • 等比(几何)级数
  • 常数项级数的5个性质
• 常数项级数审敛法
  • 正项级数及其敛散性
  • 交错级数及其敛散性
  • 任意项级数及其敛散性
• 幂级数求和与展开
  • 函数项级数
    • 函数项级数定义
      • 函数数列{Uₙ(x)}
      • 函数项级数：
    • 函数项级数相关概念
      • 收敛点与发散点
      • 收敛/发散域和收敛/发散区间
      • 收敛半径
        • 收敛区间的一半长度称为收敛半径
        • 【注】
          • 已知收敛中心点+收敛半径➩收敛区间 ×→×收敛域
      • 和函数
        • 【注】
          • 和函数的定义域为函数级数的收敛域
    • 函数项级数收敛域的求解(幂级数)
      • 绝对收敛法： ST1：加绝对值变为正项级数 ST2：利用比值审敛法求＜1的x范围，即收敛区间→收敛半径 ST3：判定端点处的敛散性，得收敛域 Note：注意展开中心点
  • 幂级数及其敛散性
    • 幂级数定义
    • 阿贝尔定理(注意展开中心点)
      • 【注】
        • 条件收敛点一定是收敛发散的分界点
    • 幂级数收敛域求解
      • 【注】
        • 法二仅适用于标准幂级数，缺项幂级数使用法一
  • 幂级数性质
    • ①和函数的连续性： 幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续
    • ②幂级数的逐项可导性： 幂级数在其收敛区间(-R，R)内可逐项求导 且收敛半径，中心点，收敛区间不变
    • ③幂级数的逐项可积性： 幂级数在其收敛域上可逐项积分(变限积分) 且收敛半径，中心点，收敛区间不变
    • 【注】
      • 求导与积分后，n起始值的变化
    • ③角标变换：一升一降
    • 【考】
      • 如何求S(0)：带0留下常数项，则S(0)＝常数项；否则，S(0)＝0
  • 函数展开成幂级数
    • 本质：和函数→幂级数的转换
    • 泰勒级数与麦克劳林级数
    • 6个常用麦克劳林级数
    • 幂级数展开方法
      • 【考1】在x＝0处展开：直接套已知麦克劳林级数
      • 【考2】在x＝x₀处展开：将x-x₀视为整体，再套已知麦克劳林级数 注意此时收敛域为x-x₀的范围
  • 幂级数求和
    • 三段论，模式题
    • 本质：幂级数→和函数的转换
    • 方法
      • 型一：先导后积
      • 型二：别人的导
      • 【注】先确定级数收敛域，若定义域有闭区间，最后记得检验端点
• 常数项级数敛散性判定思路
  • 必要条件：通项极限＝0？