导图社区 2、矩阵
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数二高等数学，汇总了 性质讨论、偏导与全微分、极值与最值的知识，大家也可以用于备考复习。
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教育学考研：教育学原理第八章教学内容整理
矩阵
细枝末节
基础知识
概念：m行n列的表格
目的：简化n元线性方程组，从而引入系数矩阵、增广矩阵
矩阵乘法运算
没有交换律：AB≠BA（特殊情况下可以相等，但不是因为交换律）
结合律：
矩阵运算可以先算前面，也可以先算后面
含有公数K
初等变换时（某行/列含有公数K）：直接除掉K，减小数字
乘法运算时（整体含公数K）：将公数K提到矩阵外面，即KA
行列式
某行/列含有公数K：将公数K提到行列式外面，即K|A|
整体含公数K：即|KA|=K^n|A|
1、矩阵初等变换是箭头符号，所以可以消掉； 2、矩阵乘法和行列式是等于符号，所以不能消掉，只能提取
基本公式
必背公式
转置公式
逆矩阵公式
伴随公式
秩公式
乘
分块矩阵公式
自我总结
实对称矩阵
实对称矩阵：
元素都是实数，且矩阵对称
一定可以相似对角化
充分必要：有n个彼此正交的实特征向量
两向量内积为0
若A是正交矩阵，且|A|=1，则A的伴随=A的装置（隐藏）
技巧
见到矩阵方程：借助矩阵公式，尝试改造，从而简化
求x矩阵
矩阵方程可以恒等变形
一般方法
1、将含X矩阵的项合并在一起：
2、X的系数矩阵可逆（重点）
3、求出X矩阵
矩阵方程简化
1、若计算复杂，考虑对矩阵方程简化
2、简化方法
借助矩阵公式直接替换方程里的某项
尤其是矩阵方程含伴随矩阵
矩阵方程左乘或右乘某矩阵，实现简化
矩阵方程不能恒等变形
x矩阵为二阶：
该题还可用于证A、B相似，即求出可逆矩阵P
x矩阵为三阶：
系数矩阵一样，只有常数项不一样
求非齐次线性方程组
证明题
证左右等式成立
方法：从题干等式出发
题型
抽象+具体矩阵
待证等式中矩阵A的次方不高：
直接计算出相应次方的A矩阵
待证等式中矩阵A为n次方（数学归纳法）：
给了具体矩阵，一般都要计算一下具体矩阵
纯抽象矩阵：
证是否可逆？：从待证表达式出发
Ax=0有非零解
r(A)<n
0是A的特征值
|A|=-|A|：常用
证不可逆
矩阵性质
矩阵可逆
行列式：|A|≠0
秩：r(A)=n
行/列向量组线性无关
0不是矩阵A的特征值
A为n阶可逆矩阵，若矩阵A每行元素之和均为k，则逆矩阵的每行元素之和为（1/k）
A为n阶矩阵
两两矩阵
等价
性质
A矩阵通过初等变换可以得到B矩阵
A、B矩阵的秩相同
矩阵等价，分析未知参数
1、分析A矩阵的秩
例如3阶子式≠0，则A的秩≥3 补充秩的概念：r(A)=n 1、A矩阵存在一个n阶子式≠0； 2、A矩阵所有n+1阶子式=0；
2、B矩阵做初等变换，变换为行阶梯矩阵，最后分析参数取值
相似
概念：
必要条件
秩相等：r(A)=r(B)
行列式相等：|A|=|B|
特征值相同
迹相等：即主对角线元素和相等
拓展性
A+kE 与 B+kE 相似
|A+kE| = |B+kE|
r（A+kE） = r（B+kE）
传递性
1、A、B相似
2、B、C相似
满足1、2两点，则A、C相似
前提：A、B相似
相似矩阵的特征向量
1、矩阵相似，即两个矩阵的特征值相同
2、核心公式：
合同：
传递性：
充要条件：
A、B合同；快速求出A、B的正、负惯性指数： 1、具体矩阵：直接求特征值，分析特征值的正负个数； 2、配方法：凑成标准形，得到正负惯性指数个数
A和B的秩相同
如果A是实对称矩阵，则B也必须是实对称矩阵
充分条件：A与B均为正定矩阵
A矩阵的主对角线上的元素都>0
|A|>0
充分必要条件
标准形下的正惯性指数=n
A和单位矩阵合同：
C要求是可逆矩阵（即|C|≠0）
A的所有特征值均>0
A的各阶顺序主子式均＞0
n元二次型（A为n阶实对称矩阵）
矩阵运算
基本运算
加减：相对应元素相加减（A±B）
乘法
一般方法：A矩阵的行*B矩阵的列（A*B）
特殊矩阵
两个主对角矩阵：主对角线上相对应元素直接相乘
含有初等矩阵：进行初等变换运算
简化计算，提高计算速度
两向量乘积运算
乘积结果为矩阵，且互为转置
乘积结果为数值
矩阵的主对角线元素和
每个元素的平方和
α、β均为列向量
求特殊矩阵n次方
矩阵的秩为1
具体矩阵
一眼看出秩为1
初等变换法（初等变换后矩阵的秩不变）：对具体矩阵做初等变换
含未知参数矩阵
1、分析出含参矩阵的秩为1
上限：与秩有关结论
下限：根据子行列式≠0
2、算出未知参数：任意两行/列成比例
初等矩阵
某行/列的k倍加到另一行/列：将k改成nk
某行/列乘以k倍：
两行/列互换
2n次方（偶次方）：变成单位矩阵
2n-1次方（奇次方）：不变
题干告知A矩阵与B矩阵相似：
自己求出A矩阵的对角化矩阵：
上/下三角矩阵
主对角线元素全为0：
矩阵每自乘一次，便使矩阵最外层元素变为0
主对角线元素不全为0
1、拆解：将矩阵拆为（单位矩阵+上/下三角矩阵）
拆开后的上/下三角矩阵的 主对角线元素全为0
2、（单位矩阵+上/下三角矩阵）使用二项式展开求解
归纳法：最后一招
矩阵A简单
1、直接计算出
2、找出规律：将A与A^2进行比较
一般A^2比A多一个系数k
3、如果A与A^2没有规律，继续求A^3
矩阵A复杂
1、化繁为简：将矩阵分块，用向量乘积表示
2、方法同上：计算出
....
矩阵类型
正交矩阵
基本性质
判别方法
列向量内积（自乘）为1：
列向量两两正交：
转置矩阵（对称矩阵）
性质：
判断某矩阵是否为对称矩阵：性质法
适当可以用矩阵公式替换所需判断矩阵
伴随矩阵
核心公式：
求伴随矩阵
数字型
二阶伴随矩阵：主对角线元素互换，副对角线元素变号
三阶/高阶伴随矩阵
一般方法：求矩阵的代数余子式（数字前有±号）
逆矩阵法：求出矩阵的行列式和逆矩阵
分块伴随矩阵
1、行列式：拉普拉斯展开式
2、求逆矩阵：分块矩阵运算方法求逆矩阵
逆矩阵法
抽象型：借助核心公式推导
求/证伴随矩阵的秩
情况
概念：单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵
口诀：左行右列（左右代表初等矩阵的位置）
矩阵经初等变换后秩不变
题干处理
1、根据题干，写出符合题意的A到B的初等变换等式
2、求变换后B矩阵行列式的值
行/列互换：
初等行/列变换：B=PAQ
常规题：根据变换结果B，分析初等矩阵P、Q在矩阵A的左右位置
提高题：所提供的矩阵P、Q非初等矩阵
经过一次以上的初等变换
初等矩阵n次方
求初等矩阵的逆矩阵
某行/列的k倍加到另一行/列：将k改成-k
某行/列乘以k倍：将k改成1/k
两行/列互换：逆矩阵为自身
工具型矩阵
行阶梯矩阵
非零行的主元的列指标随行指标递增而严格增大
如果有零行，则零行在矩阵底部
行最简矩阵
首先满足行阶梯矩阵
主元为1
主元所在列的其他元素为0
与基础解析有关
分块矩阵
分块矩阵的转置：主对角线矩阵转置，副对角线矩阵转置后对调
分块矩阵的n次方：直接对主对角线矩阵求n次方
只有主对角矩阵有运算方法
分块矩阵的逆矩阵
主对角矩阵：直接对主对角线矩阵求逆矩阵
副对角矩阵
1、副对角线矩阵求逆矩阵
2、逆矩阵结果位置对调
将大矩阵分成四块小矩阵
AB=C方程式（重难点）
题干提供B矩阵的某一列，解出A矩阵未知元素或特征值
根据A矩阵的某一行元素和，凑出B和C的列向量（特征向量）
A线性相关，若C也要线性相关，则|B|≠0
可逆矩阵（非奇异矩阵）
核心：
数字型矩阵：求逆矩阵
一般矩阵
初等行变换（一般方法）：对原矩阵进行初等行变换
伴随矩阵法：
主/副对角矩阵：分块矩阵法
抽象型矩阵
题干给出相关等式
求逆矩阵
一般情况（A、B均为n阶）：只需证AB=E
特殊情况：AB=BA=E（要证两个等式）
单矩阵：多项式除法
题干等式与所求的逆矩阵表达式只含一个矩阵
1、题干等式处理：等式一边移到另一边，使另一边为0
2、确定多项式除法的除数和被除数
被除数：题干等式（等式不为0的一边）
除数：所求的逆矩阵表达式
3、得出答案：（除数*商）+余数=0
4、由AB=E的逆矩阵定义，可得A的逆矩阵
多矩阵：等式含A、B矩阵
等式改造法
等式一边为和差形式
1、等式一边转为乘积形式（因式分解）
2、乘积形式逆矩阵公式
等式一边为乘积形式，且含逆矩阵
1、等式两边消去该逆矩阵
2、等式两边展开凑所求的逆矩阵
代入法
1、将等式代入所求逆矩阵
2、单位矩阵恒等变形
求未知参数：
题干没有提供等式
方法：1、从待求结论出发，改造待求结论 2、如何改造：待求结论添加单位矩阵，然后单位矩阵恒等变形
题型特征
1、题干含可逆矩阵（用于构造单位矩阵）
2、题干不提供等式，要求我们从待求结论的一边推出另一边
两边加E：
中间加E：
子主题标上序号即表示解题步骤/思维，无序号则表示不同的情况/题型
解题步骤/思维
1、
2、
从上往下即为解题步骤/思维
不同情况/题型
xxxxx
开头无序号，即表示题型分叉
