4、线性方程组

数二线性代数，汇总了 求非齐次特解、求基础解析/通解、公共解/同解的知识，大家也可以用于备考复习。

线性方程组

• 细枝末节
  • 方程组类型
    • 齐次线性方程组AX=0：
    • 非齐次线性方程组AX=b：
    • 区分：常数项全为0则为齐次线性方程组，或者说齐次方程是非齐次方程的特殊情况或导出组
  • 矩阵类型
    • 系数矩阵（A）：线性方程组的全体系数所构成的矩阵
    • 增广矩阵：线性方程组的全体系数和常数项所构成的矩阵
  • 方程组变量
    • 1、将线性方程组的系数矩阵通过初等行变换化为行最简/阶梯形
    • 2、类型
      • 主元：行阶梯矩阵每一行的第一个未知量
      • 自由变量：除主元外，每一行的其余未知量
  • 基础解系（不唯一）：也叫极大线性无关组
    • 满足3个条件，则向量组η为齐次线性方程组Ax=0的基础解系
  • 方程组的解情况
    • 齐次
      • 0解（充分必要）：r(A)=n
      • 非0解（即无穷多解）
        • 充分必要条件
          • r(A)<n
          • A的列向量线性相关
          • 当m=n时，|A|=0
          • 矩阵A是方程组的系数矩阵
        • 推论：m<n（方程个数<未知数个数），必有非零解
      • 齐次方程一定有零解，重点分析是否有非零解 齐次方程只要有一个非零解，就是有无穷多解
    • 非齐次：Ax=b
      • 充分必要条件
        • 有解：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩
          • 唯一解：
            • Ax=b有唯一解：r(A)=n ∴可以推出：Ax=0只有零解，即任意x≠0，Ax≠0
          • 无穷多解：
        • 无解
          • 系数矩阵的秩+1=增广矩阵的秩
          • b不能由A的列向量线性表出
      • 必要条件（n=m时）
        • 唯一解：|A|≠0
        • 无穷多解：|A|=0
        • 无解：|A|=0
  • 自我总结
    • 主元各列线性无关
    • 向量组与方程组的基础解系等价
      • 1、向量组的极大线性无关组就是方程组的基础解系
      • 2、求极大线性无关组：将向量组组成系数矩阵，然后初等行变换
    • A矩阵为非零矩阵
      • 秩：r(A)≥1
      • 非零解：将A矩阵看成n个列向量，其中至少有一个列向量≠0（即非零解）
      • 由条件可获取的信息
• 求非齐次特解
  • 系数矩阵已知（凑出特解）：
  • 系数矩阵未知：
• 求基础解析/通解
  • 1、方程组分析
    • 1、判断方程组类型
      • 齐次
      • 非齐次：求通解时，还要额外求一个特解
    • 2、确定m、n
      • m：方程的个数（即系数矩阵的有多少行）
      • n：方程未知数的个数（即系数矩阵的有多少列）
      • m行n列（巧记：m、n字母的顺序位置）
  • 2、系数矩阵分析
    • 系数矩阵明确给出
      • 系数矩阵不含未知参数
        • 1、将系数矩阵进行初等行变换化为阶梯形/行最简
        • 2、阶梯形/行最简
          • 阶梯形（1，0和0，1法）
            • 1、确定主元以及自由变量
            • 2、算出基础解析个数=n-r(A)
            • 3、写出基础解系
              • 1、令一个自由变量取1，其余自由变量取0
              • 2、将自由变量代入阶梯形方程组（代入AX=0方程，如果是非齐次，则要将常数列变成0），算出主元的具体数值
            • 4、根据基础解析，写出通解
            • 如果是非齐次方程还需要额外操作（求特解）： 1、令自由变量全为0； 2、代入方程组，算出主元具体数值 3、根据主元和自由变量，得出特解
          • 行最简
            • 1，0和0，1法
              • 自由变量取0和1原因： 1、方便计算； 2、保证自由变量线性无关
              • 1、确定主元以及自由变量
              • 2、算出基础解析个数=n-r(A)
              • 3、根据行最简矩阵，写出基础解系
                • 1、令其中一个自由变量取1，其余自由变量取0
                • 2、自由变量取1所在列的元素取反作为主元数值
              • 4、根据基础解析，写出通解
              • 如果是非齐次方程还需要额外操作（求特解）： 1、令自由变量全为0； 2、增广矩阵最后一列（常数列）元素直接作为主元数值
            • k1、k2法
              • 1、确定主元以及自由变量
              • 2、根据行最简形式的系数矩阵写出方程组形式
              • 3、令自由变量为k1、k2
              • 4、将自由变量代入方程组，计算出主元的数值（用k1、k2表示）
              • 5、将x1、x2...xn以矩阵的形式组成一列
              • 6、将k1、k2提取出来，写出通解
              • 基础解系和特解不用专门去计算， 只要将k1和k2提取出来，基础解系和特解自然就出来了
              • 不用去专门算基础解析，因此齐次/非齐次的步骤一样
        • 3、若题干要求解满足：x1=-x2
      • 系数矩阵含未知参数
        • 1、题干会告知方程组无解/唯一解/无穷多解的情况
        • 2、根据解的情况，求出未知参数
          • 初等行变换法（n≠m）：分析系数矩阵和增广矩阵的秩
          • 系数行列式法（n=m）：通过行列式=0，求出未知参数
    • 系数矩阵未明确给出
      • 矩阵运算构造方程组
        • 1、题干提供多个n维列向量
        • 2、n维列向量进行矩阵运算
      • 通过解的结构得出通解
        • 1、题干提供方程组多个解和系数矩阵的秩
        • 2、通过系数矩阵的秩，得出基础解系的个数（即通解形式）
        • 3、通过已知解，得出齐次的基础解析和非齐次的特解
          • 1、两个齐次解相加减，结果仍然是齐次解（所需的基础解系）
          • 2、两个非齐次解相减，结果是齐次解（所需的基础解系）
          • 3、齐次解+非齐次解，结果是非齐次解（所需的特解）
        • 4、根据通解形式、基础解系和特解，构造所需的通解
      • 双方程组题型
        • 特殊情况：同解方程组法
          • 特征
            • 1、其中一个方程组有明确的系数矩阵，但题目不求该方程组通解
            • 2、要求的方程组通解未提供系数矩阵
          • 方法
            • 1、分析两个方程组是否是同解方程组
            • 2、是同解方程组，直接求有系数矩阵的方程组的通解
        • 通解结构分析法
          • 特征：题干已给出其中一个方程组（A方程组）的通解
          • 方法
            • 1、通解分析：分析出A方程组的基础解析、特解（非齐次方程）和秩
            • 2、列向量关系分析：将基础解析和特解代入本体方程组（A方程组）
            • 3、求B方程组的秩（得B基础解析个数）：B方程组做初等行/列变化
            • 4、凑：根据已有的列向量关系，凑出B方程组的基础解析和特解
• 公共解/同解
  • 同解
    • 定义：两个方程组的解完全相同（即通解形式相同）
    • 已知一个方程组； 另一个方程组含未知参数； 求未知参数使两个方程组同解
      • 1、求出已知方程组的通解，并以任意实数k的形式表示变量x
      • 2、将含k的变量代入含未知参数的方程组（代入后，k随意取一个值，例如取0），求出未知参数
      • 3、未知参数解出后，求该方程组的通解，与已知方程组通解比较，相同则证明出两方程组同解
      • 证明两个方程组是同解方程组
  • 公共解
    • 定义：两个方程组（A方程组和B方程组）含有部分相同的解
    • 题型
      • 两个线性方程组
        • 1、将两个方程组联立成一个大方程组
        • 2、对大方程组求基础解系和通解
      • 方程组+基础解系
        • 任意实数法
          • 1、求出方程组的基础解系
          • 2、题干提供和第一步求出的基础解系，分别得出两个方程组的通解
          • 3、令 r = A通解 = B通解
            • r即要求的公共解
          • 4、根据第三步，得出A通解与B通解任意实数的对应关系
          • 5、令最小的任意实数为t，其余任意实数用t表示
            • 如果题目求的是非零公共解，则要注明t为非零的任意实数
          • 6、将A通解或B通解的 任意实数 用t表示，即为公共解
        • 解方程组法
          • 1、求出方程组的基础解系
          • 2、题干提供和第一步求出的基础解系，分别得出两个方程组的通解
          • 3、令 r = A通解 = B通解
            • r即要求的公共解
          • 4、移项构造新方程组，令基础解系为系数（构造系数矩阵），任意实数为未知量
          • 5、解出新方程组的基础解系和通解
          • 6、根据通解，得出新方程组任意实数与A通解或B通解任意实数的对应关系
• 子主题标上序号即表示解题步骤/思维，无序号则表示不同的情况/题型
  • 解题步骤/思维
    • 1、
    • 2、
    • 从上往下即为解题步骤/思维
  • 不同情况/题型
    • xxxxx
    • xxxxx
    • 开头无序号，即表示题型分叉