5、特征值与特征向量

数二线性代数，汇总了求特征值与特征向量、相似与对角化的知识，大家也可以用于备考复习。

特征值与特征向量

• 细枝末节
  • 隐藏条件挖掘
    • 相似
      • 1、列向量线性无关
      • 2、题干有Aα=kα表达式
        • 这个条件也暗示了矩阵A的特征值
    • 题干提供矩阵表达式
      • 隐藏了λ（求出来）
      • 矩阵法
        • 1、令A矩阵任意特征值和所对应的特征向量为λ和α（α≠0）
          • 矩阵就一定有特征值和特征向量
        • 2、改造表达式
          • 1、表达式两边同时乘α
          • 2、将其中的Aα用λα替代
            • 公式：Aα=λα
        • 3、根据α≠0，求出λ
      • 行列式法
        • 1、表达式两边直接求行列式
        • 2、行列式内部改造成特征方程形式（|λE-A|=0）
  • 基本概念
    • 特征值与特征向量
      • 定义：Aα=λα
        • 1、A是n阶矩阵，α是非零的n维列向量
        • 2、若等式成立
          • 特征值λ：是A的一个特征值
          • 特征向量α：是属于A矩阵的特征值为λ的一个特征向量
          • 特征值互不相同时，与之对应的特征向量相互线性无关
      • 特征值与矩阵公式
      • 特征多项式与特征方程
        • |λE-A|：称为矩阵A的特征多项式
        • |λE-A|=0：称为A的特征方程
        • E是单位矩阵（对角矩阵+主对角线上元素均为1）
    • 相似与对角化
      • 相似
        • 概念：
        • 性质
          • 必要条件
            • 秩相等：r(A)=r(B)
            • 行列式相等：|A|=|B|
            • 特征值相同
            • 迹相等：即主对角线元素和相等
          • 拓展性
            • A+kE 与 B+kE 相似
            • |A+kE| = |B+kE|
            • r（A+kE） = r（B+kE）
          • 传递性
            • 1、A、B相似
            • 2、B、C相似
            • 满足1、2两点，则A、C相似
          • 前提：A、B相似
        • 相似矩阵的特征向量
          • 1、矩阵相似，即两个矩阵的特征值相同
          • 2、核心公式：
      • 对角化
        • 概念：
          • 常考点：当A矩阵可对角化，A矩阵的秩、行列式与对角矩阵相同 ∴凡是涉及与A矩阵有关的行列式、秩、矩阵加减乘法运算时，都可以将A矩阵换成对角矩阵来处理 例如：求KA+KE、r(kA±kE)的秩和|kA±kE|的行列式
        • 判定条件
          • 充分必要条件
            • 特征值皆不相同，矩阵一定能对角化
            • 矩阵为实对称矩阵
          • 如果n重根的特征值有n个不同的特征向量，则一定能对角化
            • 特征值有相同的情况
• 求特征值与特征向量
  • 抽象矩阵
    • 核心方法：Aα=λα
    • 类型
      • 矩阵A某行的元素和已知
        • 1、矩阵A展开
        • 2、α展开一列
          • 根据元素和，凑出α
        • 3、元素和（常数项展开一列）
      • 矩阵A的线性方程组的通解已知
        • 1、根据通解结构，可知Ax=0的基础解系， 由基础解系，则可以得到特征值为0的特征向量
        • 2、根据特解，得出相应的特征值和特征向量
  • 具体矩阵
    • 1、先求特征值
      • 通用方法：由特征方程|λE-A|=0，求出n个特征值λ（n阶矩阵有n个特征值，可能有重根的现象）
        • 技巧：以三阶矩阵为例 1、分析：两行/列加加减减，使得某行/列两个含λ的元素有倍数关系，且使第三个不含λ的元素为0（重点） 2、后续就是解二元一次方程（第一步至少是两行加加减减，至多是三行加加减减）
      • 特殊情况
        • 直接得出特征值
          • 若是上/下三角矩阵和主对角矩阵，特征值就是主对角线上的元素
          • 若r(A)=1，
            • λ1=矩阵主对角线上的元素和
        • 拆解法
          • 特征：A的特征值不好求
          • 方法（P129）
            • 将A拆成 B矩阵+kE
            • 求A 伴随矩阵/逆矩阵/相似矩阵的特征值
    • 2、再求特征值相对应的特征向量
      • 通用法：(λE-A)x=0，解出的基础解系即为该特征值对应的特征向量
        • 解基础解系时，可以一开始就让系数矩阵的某一行全为0
      • 特殊情况
        • 两个特征向量已知，另一个未知
          • 未知特征向量的特征值不能与已知特征向量的特征值相同
          • 注意事项
            • 已知的两个特征向量：特征值可以相同也可以不同
            • 未知的特征向量：特征值必须与另外两个不同（保证正交）
          • 1、假设未知的特征向量为γ=(x1，x2，x3)
          • 2、建立齐次方程组（借助特征向量正交为0）：
          • 3、求方程组的基础解系（即为特征向量γ）
        • 一个特征向量已知，另外两个未知
          • 注意事项
            • 已知的两个特征向量：特征值必须相同
            • 未知的特征向量：特征值必须与另外两个不同（保证正交）
          • 1、假设λ1=λ2所对应的未知特征向量为γ=(x1，x2，x3)
          • 2、建立齐次方程组（借助特征向量正交为0）：
          • 3、求出方程组的两个基础解系（分别对应λ1和λ2的特征向量）
        • 以矩阵只有三个特征向量为例
• 相似与对角化
  • A矩阵的相似对角化和正交对角化
    • 相似对角化：求A对角化的对角矩阵和 使A相似对角化的可逆矩阵P
      • A矩阵为具体矩阵
        • 矩阵元素不含未知参数
          • 1、求出特征值和特征向量
          • 2、可逆矩阵P：列向量由A矩阵的特征向量组成
          • 3、对角矩阵：列向量由A矩阵特征向量所对应的特征值组成
          • 顺序要一致（特征向量和特征值一一对应）
        • 矩阵元素含未知参数
          • 已知λ为n重特征值：根据λE-A的秩推出未知参数
          • 已知特征值λ与特征向量α：联立Aα=λα方程组，求出未知参数
          • 求出参数（预处理）
      • A矩阵为抽象矩阵
        • 1、求出A矩阵的相似矩阵B和可逆矩阵P1
          • 1、列向量线性无关
          • 2、题干有Aα=kα表达式
            • 这个条件也暗示了矩阵A的其中一个特征值
        • 2、求B的特征值（构成对角矩阵）和特征向量（构成可逆矩阵P2）
        • 3、由于A、B相似，因此A矩阵的特征值、对角化矩阵与B矩阵相同
        • 4、求出使A对角化的可逆矩阵P
          • 求A的特征向量
          • 相似传递性法
    • 正交对角化：求A对角化的对角矩阵和 使A矩阵正交对角化的正交矩阵P
      • 概念
        • 核心公式：
        • 正交矩阵P：列向量由A矩阵单位化后的特征向量组成（部分特征向量在单位化前需要Schmidt正交化）
          • 与相似对角化步骤唯一多出的步骤（正交化和单位化）
        • 对角矩阵：列向量由A矩阵特征向量所对应的特征值组成
        • 顺序要一致（特征向量和特征值一一对应）
      • 特征值相同的特征向量需要判断是否需要正交化：特征向量两两正交（内积为0）则不需要正交化，直接进行单位化即可。
      • Schmidt正交化
        • 1、令β1=α1
        • 假设α1、α2、α3特征值相同，且不正交（向量内积≠0）
      • 单位化：
  • A与B相似
    • 分析A、B是否相似
      • 用相似的必要条件分析
        • 秩相等：r(A)=r(B)
        • 行列式相等：|A|=|B|
        • 特征值相同
        • 迹相等：即主对角线元素和相等
        • 选择题常见考察点
      • 分析A、B矩阵是否可以对角化
        • 若A能对角化，要让A、B相似的话，则B也必须能对角化
        • 1、求出A、B矩阵的特征值：特征方程|λE-A|=0
        • 2、根据特征值判断A、B是否可以对角化：r（λE-A）=？
        • 分析： 1、特征值是否相同； 2、n重特征值是否有n个不同的特征向量
    • 求可逆矩阵P，使A、B相似
      • 对角化法：A、B均可对角化
        • 1、求出使A矩阵对角化的可逆矩阵P1：
        • 2、求出使B矩阵对角化的可逆矩阵P2：
        • 3、联立①②，得到可逆矩阵P
      • 方程组法：
        • A、B均不能对角化
    • A、B相似，判断A、B变形矩阵的相似情况
      • 对需要判断的矩阵的左/右位置添加单位矩阵
      • 将矩阵改造成题干已知相似的矩阵
  • 与A矩阵有关考法
    • 求A矩阵的未知元素
      • 一般方法
        • 1、直接求A矩阵的特征值：|λE-A|=0
        • 2、分析每个特征值的秩：r(λE-A)的秩
      • 特殊情况
        • 已知某一特征向量α
          • 1、假设α所对应的特征值为λ
          • 2、Aα=λα：方程组展开求未知元素和λ
        • 已知某一特征值λ
          • 特征值为0（行列式法）：|A|=0
          • n重特征值：分析该特征值r(λE-A)的秩
            • 假设λ为二重特征值，则A矩阵满足对角化的前提是：n-r(λE-A)=2 ∴通过分析r(λE-A)的秩，可以得出未知元素的取值
    • 反求实对称矩阵A
      • 1、由题干获取特征值和特征向量（重难点）
        • 两个特征向量已知，另一个未知
          • 未知特征向量的特征值不能与已知特征向量的特征值相同
          • 注意事项
            • 已知的两个特征向量：特征值可以相同也可以不同
            • 未知的特征向量：特征值必须与另外两个不同（保证正交，内积为0）
          • 1、假设未知的特征向量为γ=(x1，x2，x3)
          • 2、建立齐次方程组（借助特征向量正交为0）：
          • 3、求方程组的基础解系（即为特征向量γ）
        • 其中一个特征向量已知，另外两个未知
          • 注意事项
            • 已知的两个特征向量：特征值必须相同
            • 未知的特征向量：特征值必须与另外两个不同（保证正交，内积为0）
          • 1、假设λ1=λ2所对应的未知特征向量为γ=(x1，x2，x3)
          • 2、建立齐次方程组（借助特征向量正交为0）：
          • 3、求出方程组的两个基础解系（分别对应λ1和λ2的特征向量）
        • 以矩阵只有三个特征向量为例
      • 2、根据特征值和特征向量，求出A矩阵