6、二次型

数二线性代数，汇总了n元二次型：n个变量的二次齐次函数、将二次型化为标准形、正定的知识，大家也可以用于备考复习。

二次型

• n元二次型：n个变量的二次齐次函数
  • 组成
    • 平方项：
    • 混合项：
  • 变换情况
    • 标准形：二次型中只有平方项，没有混合项
      • 正惯性指数(p)：平方项系数为正数的个数
      • 负惯性指数(q)：平方项系数为负数的个数
      • 秩：r=p+q
    • 规范形（标准形升级版）：平方项系数只能为1、-1、0
      • 规范形矩阵C与原二次型矩阵A关系（注意）： C矩阵的特征值只能反应A矩阵特征值的正负情况和0 1、C矩阵的特征值＞0（＜0），则A矩阵的特征值也是大于小于0 2、C矩阵的特征值=0，则A矩阵的特征值=0
  • 表现形式
    • 函数表现形式：
    • 矩阵形式：
      • 概念：将二次型（n元二次齐次函数）用矩阵形式表示
      • 一般情况：将实对称矩阵A称为二次型矩阵
      • 特殊情况：若任何x≠0（x为非零向量），恒有
        • ：称为正定二次型
        • A矩阵（实对称矩阵）：称为正定矩阵
      • （或A矩阵为正定矩阵）
        • 充分必要
          • 标准形的正惯性指数=n
          • A和单位矩阵合同：
            • C要求是可逆矩阵（即|C|≠0）
          • A的所有特征值均>0
          • A的各阶顺序主子式均＞0
        • 必要
          • A矩阵的主对角线上的元素都>0
          • |A|>0
        • n元二次型（A为n阶实对称矩阵）
• 将二次型化为标准形
  • 标准形->规范形： 1、平方项系数>0，改成1； 2、平方项系数<0，改成-1
  • 计算题
    • 配方法（可逆线性变换）：凑出平方和/差公式
      • 1、将含x1的项归类，其余另一类
        • 二次型函数表达式无平方项
        • 二次型函数表达式只有平方项（陷阱）
        • 特殊情况
      • 2、混合项提x1，然后凑出平方和差
      • 3、将所有含x2的项归类，其余为另一类（重复上述步骤）
      • 4、y1、y2、y3替换平方和表达式：
      • 5、将y=Qx形式转换成x=Cy形式（所用的坐标变换）
    • 正交变换法
      • 1、根据二次型，写出二次型矩阵A
      • 2、求A的特征值和特征向量
      • 3、特征向量单位化：如果特征向量不正交，还需要先Schmidt正交化
      • 4、构造正交矩阵C=[特征向量1，特征向量2，特征向量3]
      • 与上一章用正交矩阵相似对角化的步骤一模一样
      • 5、写出正交变换后的标准形：λ要与构成P矩阵的特征向量顺序一致
  • 填空选择题
    • 配方法（可逆线性变换）：与计算题方法一致
    • 正交变换法（推荐）
      • 直接求A的特征值： 1、配方法/正交变换法得到的标准形不唯一，因此可能与选项答案不一致； 2、但正负惯性指数相同：根据A矩阵特征值正负与等于0的个数去匹配选项答案
      • 1、正交变换后，A与B矩阵相似，特征值相同
      • 2、标准形的二次型矩阵是B矩阵
      • 3、因此只要求出A矩阵的特征值， 就可以直接写出B矩阵标准形的函数形式
  • 坐标变换与合同
    • 坐标变换：配方法与正交变换法的核心
      • C矩阵为普通矩阵，则叫配方法
      • C矩阵为正交矩阵，则叫正交变换法
    • 合同：
      • 传递性：
      • 如果题干说A是实对称矩阵，则B也是实对称矩阵
      • 充要条件：
        • A、B合同；快速求出A、B的正、负惯性指数： 1、具体矩阵：直接求特征值，分析特征值的正负个数； 2、配方法：凑成标准形，得到正负惯性指数个数
      • 充分条件：A与B均为正定矩阵
      • 必要条件：A和B的秩相同
• 正定
  • 充分必要条件
    • 标准形下的正惯性指数=n
    • A和单位矩阵合同：
      • C要求是可逆矩阵（即|C|≠0）
    • A的所有特征值均>0
    • A的各阶顺序主子式均＞0
    • n元二次型（A为n阶实对称矩阵）
  • 必要条件
    • A矩阵的主对角线上的元素都>0
    • |A|>0