导图社区 1、函数、极限、连续
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函数、极限、连续
函数
复合函数
单调性
条件：f(x)单调增、g(x)单调减
单调增（增增/减减为单调增）：f[f(x)]、g[g(x)]
单调减（增减嵌套为单调减）：f[g(x)]、g[f(x)]
奇偶性
条件：f(x)偶函数、g(x)奇函数
偶函数：f[f(x)]、f[g(x)]、g[f(x)]
奇函数（奇奇为奇）：g[g(x)]
定义域
逆问题：已知f(g(x))定义域，求f(x)定义域
1、根据复合函数的定义域，算出g(x)的值域
2、g(x)的值域，就是f(x)的定义域
已知f(x)及定义域，求f(g(x))及定义域
1、确定g(x)的定义域或不同定义域内的表达式（分段函数）
建议画出x轴区分不同定义域下g(x)的表达式
2、选定g(x)的定义域及其表达式，将g(x)代入f(x)：f(x)->f[g(x)]
3、分析g(x)的值域在其自身哪段定义区间上满足f(x)的定义区间
4、该区间即为复合函数的定义域
函数性质
性质
函数的导数值恒＞0（＜0），即函数严格单调增（减）
函数的导数值恒≥0（≤0），即函数单调不减（不增）
选择题判断是否单调（秒杀）：选取几点，分析函数值是否单调增/减
有界性
函数在闭区间连续，则函数有界
函数在开区间连续（常用）：若左右两个端点处有极限，则函数有界
开区间可以是（－∞，+∞）
函数的导函数在有限区间（开闭皆可）上有界，则函数有界
选择题判断是否有界
周期性
常见函数的周期
sinx、cosx：以2Π为周期
sin2x、|sinx|：以Π为周期
反函数：
f(x)是奇函数
导函数是偶函数
连续的奇函数，其原函数都是偶函数
f(x)是偶函数
导函数是奇函数
连续的偶函数，其原函数之一是奇函数
f(x)关于直线x=a（a≠0）对称：
f(x)关于点（a，0）（a≠0）对称：
判断奇偶性方法
一般方法
一般情况
奇函数：f(-x) = -f(x)
偶函数：f(-x) = f(x)
等价做法
奇函数：f(-x) + f(x) = 0
偶函数：f(x) - f(-x) = 0
常用于分析对数函数
特殊方法
加减
奇 ± 奇 = 奇
偶 ± 偶 = 偶
乘
奇 * 偶 = 奇
奇 * 奇 = 偶
偶 * 偶 = 偶
函数表达式各项奇偶性已知，根据加减乘除， 但不需要记住：平常用x*x和x+x推一下
常见的奇函数
连续与间断
f(x)连续：左极限=右极限=函数值
f(x)可导：左导=右导
坑点：分析左右极限或左右导时，一定要先分析f(x)的定义域
间断点类型
第一类：左右极限均存在
可去间断点
跳跃间断点
第二类：左右极限至少有一个不存在
无穷间断点
震荡间断点
间断点左右领域必须要有定义，否则不构成间断点
方法
1、寻找间断点
函数没有定义的点：一定间断的点
可能的间断点
函数在该点有定义，但： 1、左右极限存在但不相等（跳跃）或不等于函数值（可去） 2、左右极限至少有一个不存在（第二类）
绝对值为0的点
分段函数分界点处
2、间断点两边求极限，根据结果将间断点分类
选择题：求极限可以将≠0的项直接去掉，不影响判断结果
技巧：偶函数的分界点只要分析一边即可
f(x)表达式为极限式
1、找出极限式中自变量无定义点
2、当x≠无定义点，求极限值(即f(x)表达式)
1、分析x在不同区间上，是否会对极限值产生影响：
2、如果会产生影响，则将x分区间，构造分段函数
3、将区间分界点带入极限式中，求出分界点的函数值
分界点带入，求极限可能不存在，即f(分界点)=无函数值
3、分析间断点类型：无定义点、分界点
极限
无穷小量阶的比较
题型
阶排序
定阶最大最小
求导定阶：分析求导结果的阶数，原阶数=求导后阶数+求导次数
两两比阶：即求0/0极限
结果为0，分子是高阶
结果为∞，分子是低阶
结果为1，分子分母等价
结果为c（≠0、1），同阶
此方法不能算出阶的具体值
待定阶数法（一般做法）：求出待定的阶数
等价无穷小代换
直接对函数求极限，将函数转换为相应的等价无穷小
积分型：
被积函数等价无穷小代换
第一积分中值定理：被积函数乘积形式，将一项移出积分符号外面
特殊方法（针对积分）
分析积分结果阶数
结论：上限阶数*（被积函数阶数+1）
被积函数求极限是非零常数，则为被积函数为0阶
如果有上下限，则取上下项阶数中最小的*（被积函数阶数+1）
简化被积函数
被积函数等价代换
第一积分中值定理：将非零因子提到积分符号外面
确定函数中的参数
极限求参
已知极限表达式：一般要将极限表达式转换成0/0和∞/∞
两两存在阶数关系
需要我们自己去列极限表达式
题干显式告知两两的阶数关系
隐式告知两两阶数关系
参数类型： 1、系数含参 2、次方含参
解题步骤
1、确立解题方向
所有参数一起算出来
先算出一个参数，再将求出的参数带入，计算另一个参数
选择题： 1、选择其中一个参数代入，判断是否符合； 2、代入参数不符合，可排除该选项，同时也得到了该参数的正确答案
2、方法
特殊法（选择题）：根据奇偶性，排除不符合的阶数
洛必达
泰勒展开
分母阶数可知
1、确定分母的阶数，分子泰勒展开后的阶数与分母相同
分子要向分母对阶
2、拆分式：根据拆开后的每个分式的极限，求出未知参数
一般要保证拆开后的每个分式的极限为0， 具体情况要根据分子分母的阶数关系（高阶、等价、同阶）
分母阶数未知：分子泰勒，分母与分子系数不为0的最低阶数相同
该类型考题一般都是分子与分母等价/同阶，分母要向分子对阶
求f(x)在x=0处泰勒多项式中的参数
1、分析函数f(x)的奇偶性
2、处理f(x)
f(x)简单：直接求f(x)的一阶、二阶导...
f(x)复杂：将f(x)进行泰勒展开
3、两两比较，确定未知参数
细枝末节
汤讲义
极限的定义
基本结论
数列也有相应的结论
保号性
极限值>0（<0），则去心领域内，f(x)>0（<0）
极限值A>B，则去心领域内，f(x)>g(x)
只有＞（＜）的情况，没有≥(≤)的情况
保序性
常用在递推式数列，两边求极限
去心领域内，f(x)>0（<0）,则极限值≥0（≤0）
去心领域内，f(x)>g(x)（<0）,则极限值A≥B（≤0）
f(x)≥0和f(x)≥g(x)，也满足该结论
数列也有相应的性质
函数局部有界性
数列全局有界性
极限值与无穷小间的关系（证明/选择题常用）：
数列极限的定义
1、极限值与数列的前有限项无关
2、列与子列的性质
因为数列只要从某项开始有极限，则整个数列有极限
定理
最值定理
零点定理：开区间
介值定理：闭区间
武讲义
无穷小与无穷大
无穷小
同阶
等价
无穷小的阶
无穷大
无穷大与无界：无穷大一定是无界变量，无界变量不一定是无穷大
无穷大比大小
x->+∞(函数)：
n->∞(数列)：
极限存在与连续的加减性质
极限存在 ± 极限不存在 => 极限不存在
连续 ± 不连续 => 不连续
∞结论
正无穷+正无穷：(+∞)+(+∞)=+∞
负无穷+负无穷：(-∞)+(-∞)=-∞
无穷大分正无穷大和负无穷大 因此：无穷大-无穷大不一定是无穷小； 无穷大+无穷大不一定是无穷大 上述的无穷大都没有表明正负，因此等式不成立
∞±有界变量=∞
∞*∞=∞
∞*有界变量=未定式
需要分左右极限讨论的函数
指数函数：注意指数为乘积形式时x的趋向
arctanx函数
含根号
平方项开根号，加绝对值
根号外面的变量进入根号里面，必须是正数
无穷大时抓大放小
含绝对值：绝对值拆成分段函数
个人总结
常见极限（记住）
极限的情况
极限存在
极限为无穷小：即极限为0
其他
极限不存在
函数/数列极限不存在（∞或震荡），不一定无界 只有两种情况是一定的： ①函数/数列极限存在，一定有界（收敛必有界） ②函数/数列无界，极限一定不存在（①的逆否命题） ③函数/数列极限为无穷大（极限不存在的特殊情况），一定无界
∞（无穷大）：极限不存在的特殊情况
函数值来回震荡，即没有极限：
这类函数常包含三角函数： 1、三角函数在定义域来回震荡，故含三角函数的函数通常无极限 2、三角函数有极限的情况：0/0 或 无穷小*有界三角函数（sinx等）
分段函数的分界点：左右极限不相等，极限不存在
7种极限不定式
核心
常规方法
抓大放小法
非核心
分式差通分
显式分式差
隐式分式差
三角函数
倒代换
根式差有理化
提无穷因子+等价代换
中值定理
凑重要极限形式
指数化
结论法
剩下五种不定式，都要转为核心不定式
经典反例
函数单调有界
f(x)=arctanx
f(x)≡c
间断点经典反例
定义域为R
数列
有界无界
有界
分段函数错位震荡：1、-1、1、-1...
无界
分段函数错位递增震荡：0 1 0 2 0 3……
函数/数列无界，则极限一定不存在 因此：题干说数列极限不存在时， 我们构造的具体数列可以是无界的数列
收敛
数列收敛必有界 ps：收敛 == 有极限 发散 == 没有极限
求极限
函数极限常用方法
化简先行
极限非零因子先算
有理化
函数极限：遇见根号直接有理化
数列极限
1、求出根号里面数列的前n项和
2、根式有理化
变量代换：倒代换（一般情况）
对数拆开后或许有新思路：
分子加项减项拆，分别求极限：
拆开分别求极限（前提）： ①拆开的各项都有极限； ②分子要满足加减法时的等价无穷小代换原则 因此：如果是抽象函数，且题干没有告知抽象函数有极限，则不能拆开分别求极限
洛必达法则
数列极限不能直接使用：数列极限要先使用海涅定理转为求函数极限
含绝对值时
对数函数：直接求导
一般函数：不能直接求导，必须分左右区间，然后去掉绝对值
等价无穷小代换时，如果含绝对值，保留绝对值
乘除关系：直接等价代换即可
加减关系
加：lim(a/b)≠-1，则a+b ～ a1+b1
减：lim(a/b)≠1，则a-b ～ a1-b1
满足条件，加减法时才能等价无穷小代换
泰勒公式
：泰勒展开后，要保证分子分母的次幂相同
：只需要展开至系数不为0的次幂即可
泰勒展开原则
无穷小 * 有界 = 无穷小
常见于：无穷小 * 有界三角函数（sinx、cosx、arctanx等）
两个相同类型的函数相减
两个指数函数相减
提公因子，等价代换
拉格朗日中值定理
指数函数可以自己创造，即指数化
两个对数相减
两个对数合并，等价代换
对数可以自己创造的，联想微分中值还原法
两个幂函数相减：提公因子，等价代换
两个三角函数相减
两个根号相减
根式有理化
注意：中值点不能直接等于左右两端点，需要使用夹逼准则进行证明
海涅定理
作用
求函数极限时，可以转换成求数列极限
求数列极限时，可以转换成求函数极限
海涅定理是函数极限与数列极限的桥梁
函数极限转换成数列极限：
数列极限转换成函数极限：
海涅定理的逆用：分析函数极限不存在，选取两个定点，转为数列极限，两个数列极限不相等，即极限不存在
求函数极限的常用方法也可用于求数列极限
补充：数列极限不能直接用洛必达法则 通过海涅定理，数列极限转换成函数极限后，才可以使用洛必达
数列n项和、n项乘
数列n项和
定积分的定义
1、提可爱因子，构造和式极限
类型
情况：如果缺了最后一项i=n，有可能是n-i=0消去了
2、定积分计算
夹逼准则
分子不是等比/等差
无法计算出分子n项和，因此让最小项和最大项累加n次，满足夹逼
n为无穷大时（常见）：
n为有限数时：
分子是等差/等比：先计算出分子的n项和
1、比较分母分子次数是否同量级。同量级定积分，不同量级夹逼 2、分母变化部分的最大值与分母不变部分比较： ①同量级，且分子次数比分母次数低一阶，使用定积分； ②次量级，夹逼
数列n项乘
对数化（指数化）
n项乘转为n项和
对数化：对数化后的极限结果为e的指数
特殊
分子分母都在变化
若分子是等差/等比：先算出分子的n项和
若分子不是等差/等比：定积分+夹逼一同使用
n项和用累加符号表示，却无法使用定积分定义：尝试拆开
递推式数列
单调有界准则
真题方法
证有界性
常见不等式证有界
归纳法证有界
证单调性
常用方法
归纳法
符合单调有界，则假设极限为a
1、由数列的取值范围，根据保序性确定a的取值范围
1、保序性确定的a的范围有上下界
2、保序性确定的a的范围只有上界/下界，则需要令递推表达式为函数，分析函数的单调性，确定a的唯一性
2、递推式两边取极限，求出a，并根据保序性结果筛选
先求后证
1、先假设极限a存在，并求出极限值（需要筛选）
1、把a的具体值带入，舍弃x的表达式
2、根据x的保序性，带入x的上界/下界，舍弃a
放缩的方法
含积分求极限
1、找出极限变量与微元变量
2、换元
抽象函数，且含极限变量
具体函数，且被积函数只有一项：
若具体函数有两项，不进行换元
换元后，被积函数不再包含极限变量
3、被积函数是否含极限变量
不包含极限变量
总结：该题型被积函数一般是抽象函数
洛必达：若某项的积分上下限不含极限变量，实质为定积分，求导为0
积分中值定理的推广：
中值点位于积分上下限之间（开区间）
夹逼定理
积分区间上下限代入被积函数，使被积函数放缩至最大最小
使用常见的不等式关系替换
技巧
凑极限表达式
题干显性/隐形给出某阶导数
包含极限变量
积分法：将积分积出来
第一积分中值定理
公式：
1、找出被积函数只含微元变量和含极限变量的部分
2、分析含极限变量部分
1、找出该部分的微元变量及取值范围
微元变量的取值范围一般是积分上下限
2、分析该部分是否恒正/负
3、若满足第一积分中值定理
1、只含微元变量部分：提到积分符号外面
2、含极限变量部分：留在积分符号里面
4、对含极限变量的部分：换元
为什么不一开始换元：∵被积函数皆为具体函数，且超过一项 ∴如果换元，整个被积函数都要参与换元，则不含极限变量部分就变成含极限变量，换元无意义
放缩法：用积分区间的值代入被积函数，使被积函数放缩至最大最小
含极限变量部分
对含极限变量部分进行放缩，最后积分
凑积分微元：分部积分展开，将上下限代入，形成数列极限
核心凑：0*有界 1、解答题：把定积分结果算出来 2、填空选择：0*定积分 => 0*有界
对被积函数求极限：初步分析结果可能取值，为夹逼提供一个方向
0*有界
常搭配夹逼和第一积分中值定理使用
假分式->真分式
