导图社区 2、一元微分学
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2、一元微分学
数二高等数学，汇总了 导数值求解、导数应用、综合证明题的知识，大家也可以用于备考复习。
编辑于2023-04-24 10:24:35- 数二高等…
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一元微分学
细枝末节
汤讲义知识点
f(x) 与 |f(x)|
连续性：f(x)在x=x0处连续，则|f(x)|在x=x0处也连续，反之不对
可导性
若f(a)≠0，则|f(x)|在x=a处可导
若f(a)=0
f(x)在x=a处可导（条件）
含义
Δy：曲线f(x)在[x0,x0+Δx]上的差值
dy：切线在[x0,x0+Δx]上的差值
一阶、二阶关系
一阶：
二阶：
前提：f(x)在x0的区间内存在二阶导数
ds的弧微分
直角坐标：
参数方程：
极坐标：
曲率与曲率半径
曲率与曲率半径的关系
曲率
直角坐标（重点）：
参数方程：
曲率半径：
x0处曲率圆方程一阶导、二阶导=曲线f(x)在该点的一阶导、二阶导
曲线在某点的曲率越大，则曲线越弯曲，越偏离该点的切线
二阶导数≠0
可知函数图形的凹凸性
二阶导数的保序性（实质是泰勒拉格朗日余项定理）
不等式关系
x∈[a,b]
武讲义知识点
函数处处可导
导函数的极限不一定存在：极限存在是使用洛必达的前提
导函数不一定连续：连续是导函数=该点导数值的条件
罗尔定理推论：某阶导数≠0（>0或<0）
个人总结
某点处的一阶导正负不反映该点领域内函数的单调性
极值点和拐点图像角度
极值点
y：该点左右两侧单调性不同
一阶导：该点左右两侧的一阶导数值一正一负
不管该点导数值是否存在
拐点
y：该点左右两侧凹凸性不同
一阶导：该点左右两侧单调性不同
二阶导：该点左右两侧的二阶导数值一正一负
不管该点导数值是否存在
前提：f(x)在整个区间上连续
经典反例：
k>0：连续
k>1：可导
k>2：导函数连续
解题思维
分析函数奇偶性
0点求导：偶函数求导为奇函数，奇函数在0点为0
不可导点分析：偶函数只需分析一边的不可导点
斜渐近：偶函数只需算一边的斜渐近线，另一边斜渐近线斜率差负号
根个数：奇函数(0,+∞)与(-∞，0)的根个数相同
∴奇函数只需分析(0,+∞)根的个数
见到等式/不等式
寻找等价形式：使求导简单
隐含更高阶可导：只要一边可导，另一边也可导
解题中产生的分式
情况
还原构造辅助函数时
换元
等式换元：一定要考虑分母不为0
变上限换元
求极限时不用考虑分母为0的情况
求导时要考虑分母为0：
构造等价形式时
处理：需要分析分母是否可能为0，如果可能，务必写成分段函数形式
截距问题
在x轴上的截距，令y=0，算x
在y轴上的截距，令x=0，算y
见到假分式->真分式
导数值求解
具体点求导常用方法
直接求导法
导数定义
原则
保两侧
不能跨
同阶
构造导数定义时，需满足三条件（汤讲义）
证明f(x)可导
导数乘法公式（化繁为简）
1、找到子函数g(x0)=0
2、拆分函数：f(x)=g(x)*h(x)
0点特殊法：分析奇偶性
复合函数：f[g(x)]
连续复合：f、g都是连续函数
分段复合：f、g其中之一为分段函数，存在分界点
隐函数
特征：y(x)由某表达式/方程确定
1、y(x)表明谁是自变量、谁是因变量，即对自变量求导
2、解题时，应对表达式/方程进行求导
题型
非具体点求导
一般方法
多元微分法
1、改造表达式：F(x,y)=0
2、一阶导和二阶导
一阶（记住）：
二阶：
具体点隐函数求导
1、将该点带入表达式，求出函数值
2、求导：求导后不必整理，直接将具体点带入算出即可
简化技巧
求一阶导前简化
1、方程出现指数形式，方程两边对数化
2、方程对数化后，才进行求导
求二阶导前才简化
常用
1、先不简化，直接求出一阶导
2、根据原方程，替换一阶导表达式中的复杂项
3、替换后的一阶导表达式再求二阶导
二选其一即可，一般不能兼得
反函数
一阶和二阶公式
一阶（该公式必须记住）：
二阶：
求更高阶反函数导数都参照该模板
三阶及以上反函数求导：根据一阶反函数导数求出更高阶
参数方程：
1、若求具体点导数，先将参数值带入参数方程，求出y和x的相应值
2、求一阶导：
3、求二阶导
非具体点：
具体点：
如果题干是极坐标方程，要先将极坐标方程转换成参数方程
分段函数
分段函数类型
显式分段函数：
绝对值型分段函数：函数某部分含绝对值
绝对值拆掉后，形成分段函数
极限型分段函数（第一章知识）
1、求极限
2、根据极限结果形成分段
题型
求分段函数导数
连续区间直接求导
分界点处的导数用定义式
分段函数求导结果也应该用分段函数的形式表示
可导性问题
题型
分段函数分界点是否可导
函数有几个不可导点
1、寻找可能的不可导点
分段函数分界点
函数绝对值为0的点
从原函数的角度分析
2、分析可疑点
一般方法：用导数定义
特殊方法
：若φ(x)在x=0处连续且φ(0)=0，则f(x）在x=0处可导(充分必要）
x=0是可能的不可导点
：若φ(x)表达式可以拆出sinx，则f(x)在x=0处一定可导
如果绝对值是|x|,则φ(x)需要拆出x才可导
适用：绝对值型分段函数 回避拆绝对值问题，直接分析
双分段函数复合 f(g(x))
将双分段复合函数转化为单分段函数（一般方法）
特殊方法：判断双分段复合定点是否可导
分段函数含参
特殊函数
幂指函数、连乘、连除、开方、乘方
对数求导法：等式两边取对数，然后两边对自变量求导
指数求导法：等式两边指数化
复合函数求导法（多元复合求导思路）
1、把函数看成两个或多个函数的复合
2、画出变量树，链式求导
变上限求导
一般情况
不需要换元
换元后不产生分段函数
特殊情况：
换元后产生分段函数
含绝对值求导
类型
具体点导数：定义法
非具体点
先去绝对值，再求导：
去绝对值后，分段区间比较少
绝对值等价形式
适用情况：去绝对值后，分段区间太多了
2、求导
3、求导结果中的等价形式，转回绝对值形式
求导结果仍然含绝对值
情况
对数含绝对值：忽略绝对值，直接求导即可
对数函数求导：若y(x)=ln(分式)，求导时可以将分式转为整式
偶函数：去绝对值，只分析x正半轴处的情况
高阶导数
方法
公式法
一般公式
加减：每项各自求n阶导
乘除：二项式展开求n阶导
特殊公式
sin、cos
对数
n阶导数公式熟记
泰勒公式
题干：求x=0处n阶导数
方法
1、将函数泰勒展开至n阶
函数实际的泰勒展开与理论上的泰勒展开进行比较
归纳法
凡涉及n次方问题，归纳法是解决问题的最后一招
求出一阶导、二阶导进行比较，找出规律
需要适当对求导结果进行简化
求导的乘法公式
假分式
1、长除法：分子除分母
2、长除法结果变回f(x)
3、对真分式分别求n阶导
导数应用
抽象函数f(x)
极限表达式
具体函数分析法：构造满足极限的具体函数
选择题：构造的特例只能用于证明选项不正确
填空题：构造的特例只要满足要求即可
函数保号性分析：得出该点左右两侧函数正负关系
凑极限定义式
泰勒展开：题干提示导数二阶及以上
求值：如果题干告知函数连续可导，尝试求出函数值与导数值
极限表达式的充分必要条件：求极限函数=极限值+高阶无穷小
含导数等式
继续求导：等式一边的函数可导（简单函数），则另一边也可导
具体函数分析法
尝试还原
题干提示导数二阶及以上，都能用泰勒展开替换f(x)，关键是x0选取
单调性/极值问题
显函数（一般问题/一般方法）
1、确定函数定义域
2、寻找可疑极值点
1、一阶导数为0的点，即驻点
导函数
表达式角度
图像角度
原函数图像角度
2、一阶导数不存在的点
前提：函数在该点连续，如果没有函数值，谈何极值？
导函数
导函数图像角度（直观）
导函数左右两边趋近∞的点
导函数间断点（即导函数不连续，左导≠右导）
可疑极值点左右两边的值一正一负，即为极值点
导函数表达式角度
导函数没有定义的点
该点：左导≠右导
原函数
原函数图像角度（直观）：尖点
原函数表达式角度
函数绝对值为0的点
可疑尖点
分段函数分界点
前提：分段函数连续
可疑不可导点，需要进一步分析是否可导
3、讨论可疑极值点
列表讨论（一般方法）
定义法：分析某点函数值与左右去心领域内函数值的大小关系
1、函数值>左右领域：极大值
1、函数值<左右领域：极小值
第一充分条件（万能）：分析可疑极值点处左右两边的导数正负
第二充分条件：若一阶导为0，分析二阶导正负
方法
二阶导>0：极小值
二阶导<0：极大值
类型
直接将驻点带入二阶导表达式，求出该点的二阶导
题干提示二阶导连续：对二阶导求极限，极限值 = 二阶导数值
第三充分条件：n阶导之前的导数全为0
n为偶数
n阶导>0：极小值
n阶导<0：极大值
n为奇数：没有极值
第n阶导≠0
1、常用第一和第二充分条件进行判断 2、第二第三充分条件只能判断可导点
画图分析：适用于一阶导数有奇偶性
4、得出结论
1、在开区间内，说明导数正负
2、在闭区间内，说明函数单调增/减
多个单调区间不能用并集符号连接，用逗号隔开即可
3、得出极值与最值
比较最值时还需要算出区间端点处的函数值
隐函数+极值问题
特征：函数由某表达式确定
方法
1、表达式求导，令求导结果中的一阶导为0，得出y和x的关系式
2、将y和x的关系式代回原式，求出驻点x
3、用一般方法分析驻点x是否是极值点
参数方程
1、参数方程求一阶导，求出t使得一阶导等于0
2、求出t后，回代x(t)求出对应的x
3、列表讨论极值/拐点
比常规表多出一行：即t的取值范围
1、根据t的取值范围，得出x的取值范围
2、根据t的取值范围，计算出一阶导、二阶导的正负情况
原因：参数方程的一阶导和二阶导的变量为t
4、说明f(x)的单调区间/凹凸区间
该区间用x的范围表示
微分方程+显/隐函数
变上限函数：求导
分段函数
类型
显式分段函数
隐式分段函数：定积分+被积函数（含绝对值）
拆绝对值：详情看第三章
方法
1、分区间求导
2、分界点处导数值用导数定义
拐点与凹凸性
拐点判别
可疑拐点
二阶导数表达式
二阶导数为0的点
二阶导数不存在的点
图像角度
原函数：曲线凹凸性改变的点
一阶导函数
一阶导函数的极值点处
一阶导函数左右两边趋近∞点处
一阶导函数在该点左右两边的单调性不同，即为拐点
二阶导函数：可疑拐点左右两边的值一正一负，即为拐点
第一充分条件：分析可疑拐点处左右两边的二阶导数是否异号
异号：拐点
同号：不是拐点
第二充分条件：若二阶导为0，分析三阶导
三阶导≠0：拐点
三阶导>0：左凸右凹
三阶导<0：左凹右凸
三阶导=0：不是拐点
第三充分条件：n阶导之前的导数全为0
n为奇数：是拐点
n为偶数：不是拐点
第n阶导≠0
判别法
二阶导>0：凹（也叫下凸或上凹）
二阶导<0：凸（也叫上凸或下凹）
凹凸性判别
定义法
判别法：分析二阶导正负关系
渐近线
垂直渐近线
1、找函数没有定义的点和区间
2、点和区间
对无定义的点两边求极限
对无定义区间的端点求极限
①必须是闭区间的端点； ②左端点只能求左极限； ②右端点只能求右极限
3、极限结果
极限不存在：x=区间端点或无定义点为垂直渐近线
极限存在：不是垂直渐近线
水平渐近线：求函数趋向±∞的极限
斜渐近线
技巧
1、先判断函数的奇偶性
2、偶函数只需求一边渐近线，另一边的斜率差负号，且截距相同
方法
一般方法
1、先求a=
2、再求b=
3、y=ax+b
求极限x->无穷（与f(x)的定义域有关） 1、＋∞ 2、-∞ 3、∞
渐近线定义法
原理
2、满足定义，则f(x)=ax+b为曲线的斜渐近线
方法
1、提max：提分子分母最高次幂=kx
2、求b
剩余项直接泰勒展开
剩余项指数化后，再泰勒展开
b有时等于0
1、曲线一边有水平渐近线就不会再有斜渐近线，反之亦然； 2、水平和斜都要先分析f(x)的定义域，如果定义域x>0，则不需要求趋向负无穷的极限
综合证明题
根存在性与个数
题型
根存在性证明
根个数
方程不含未知参数，求解方程根个数
方程含未知参数，根据参数取值范围，确定该范围内方程根个数
方法
根的个数
单调性
1、构造函数，并确定函数定义域
函数->等式->函数(剥离参数) f(x)=ax-blnx -》ax=blnx
定义域
根据原等式确定定义域（可以确定的话）
根据构造的辅助函数确定定义域
构造辅助函数
等式不含未知参数：直接将等式一边移到另一边
等式含未知参数
简单分离参数
1、新函数仍含未知参数，求导后未知参数被消去
2、最后讨论根个数时，根据参数取值不同， 分析曲线与x轴位置关系
彻底剥离参数
1、新函数不含未知参数
2、讨论根个数时，把未知参数当成平行x轴的直线， 根据参数取值，分析直线与构造函数的交点个数
2、求导
1、求导，算出极值点
2、分析极值点与x轴的位置关系
3、分析函数曲线走向
分析极值点两侧单调性
分析函数左右两端的极限（即函数两端的趋向）
4、讨论根的个数
罗尔定理推论
根个数的上界
罗尔定理推论
方程最高次幂
根个数下界
零点定理
题干的区间端点：若两个端点值异号，至少有一个零点
如；f(x)在[a,b]连续，分析f(a)与f(b)的函数值
题干已给一点，另一点选取
例如：f(x)在[a,b]连续，f(a)<0
不取特定点（广义零点定理）：直接对另一边求极限
取特定点（对a点泰勒展开）：
需要知道a点的一阶导，以及二阶导＞0或＜0
二阶导数保序性
广义零点定理
肉眼可见的零点
罗尔定理
根存在性：实质是找根个数的上下界
罗尔定理
零点定理
微分中值证明
单中值
构造辅助函数
还原法
类型
简单还原法
分组还原法
特征
单中值+导数差一阶
f(a)=f(b)=f(c)：三点两次罗尔
罗尔定理
凑微法
微分方程法
情况：辅助函数是分式，如果分母可能为0，则辅助函数分段处理
双中值
特征：
注意：
类型
双中值允许相同
两次拉格朗日
两次柯西定理
一次拉格朗日和一次柯西
同一区间内使用两次定理
双中值不允许相同
方法：分区间使用两次拉格朗日
分界点选取
题干已给出分界点
第一小问求证的点
待定法
1、假设该点为c
2、以c为分界点，左右两边使用拉格朗日
3、将中值点代入待证表达式
4、求出f(c)或c点
求出f(c)：需要证明f(x)可以取到（介值定理）
方法
1、分离中值：使两个中值分处在等式两边
2、根据题干条件选择相应的中值定理：优先处理复杂的一边
高阶中值
拉格朗日余项泰勒定理
核心：x0与x的选取
x0
导数点
端点/区间中点
x
函数值点
端点/区间中点
结果处理
1、两个不同区间的中值，选取最大的一个，从而合二为一
2、选取特定点，使结果满足所证结论：一般是区间中点
3、题干出现高阶导连续：尝试对结果使用介值定理
多项式拟合
1、假设一个多项式：g(x)
g(x)多项式次数=结论f(x)阶数
多项式g(x)满足题干对f(x)的所有要求
2、令 F(x)=f(x)-g(x)：一定存在c点，使 F(C)=0
3、三个点，使用罗尔定理
θ中值：求θ极限
若f(x)表达式题干给出，解出θ，然后求极限
若f(x)表达式题干未给出
1、由θ表达式，确定中值定理类型，f(x)进行相应中值定理展开
2、构建等式关系，消去无关项：f(x)展开表达式与题干θ表达式
3、等式两边求极限
不等式证明
题型
选择题
证明大题
常用方法
1、根据题意列辅助函数
辅助函数
一般方法：将等式的一边移动到另一边，构造辅助函数
ab类型
1、f(x)定义域
1、题干：0<a<b<1
2、令b为x：x∈[a,b]∈[0,1]
注意：闭区间
2、f(x)求导
1、端点处可以直接代入求导结果
2、求导后的定义域为x∈(0,1)
注意：开区间
将b改为x，构造辅助函数
等价形式
幂指型（对数化）：
分式或对数型（展开化）：
化繁为简：分析其中一个函数
f(x)*g(x)≥0(≤)双函数型
1、简单函数f(x)在x=x0处左右两边异号
2、令辅助函数=g(x)
g(x)函数较为复杂
1、题干可得：g(x)与f(x)在x=x0处两侧同号
2、分析g(x)在x=x0处两侧的正负
2、寻点x0：f(x0)为最大/小值
3、根据x0的位置选取方法
x0为区间端点：单调性
求导有时繁琐，应坚持
若f(x)不能取x=x0：f(x)对该点求极限
x0为区间内部点：最值
证明为最值
1、证二阶导＞0(＜0)
求到二阶：可以根据二阶导结果，直接得出二阶导恒正恒负
求到三阶：根据三阶导结果，得到二阶导最大/小值>0(<0)
2、根据二阶导正负，得出一阶导单调增/减
唯一驻点
3、得出极值点为最值点
对称区间+偶函数
前提：对称区间
1、区间砍半：（-1，1）->[0,1)
2、转化：最值分析转为单调性分析
二阶导数保序性（拉格朗日余项泰勒）：二阶导数≠0（题干特征）
拉格朗日中值定理
f-f
待证结论形似拉格朗日定义
柯西中值定理
凹凸性
函数左右两个端点值相同，且二阶导数≠0
待证结论形似凹凸性定义