第二章 一元函数微分学

根据自己理解整理的考研第二章一元函数微分学，内容有 导数、微分、求导和微分的运算法则、微分中值定理、洛必达（L'Hospital）法则、泰勒（Taylor）公式、用导数研究函数性态（长相），欢迎交流！

第二章 一元函数微分学

• 导数
  • 引例
    • 瞬时速度
    • 切线斜率
      • 切线方程
      • 法线方程
  • 导数定义
  • 单侧导数
    • 充要条件
  • 常用导数公式
    • 讲义P27
  • 可导与连续的关系
    • 可导必连续，连续未必可导
• 微分
  • 引例
    • 类线性关系
  • 定义
    • 注：可微描述的△x与△y之间的类线性关系
  • 可微与可导的关系
    • 等价
• 求导和微分的运算法则
  • 四则运算
  • 复合函数的导数
    • 子主题
  • 幂指函数求导
    • 用自然常数e变换求导
  • 隐函数求导
    • 原则：两边同时求导
  • 反函数求导
  • 参数方程求导
  • 高阶导数
    • 定义
    • 隐函数求二阶导数
    • 参数方程求二阶导数
    • 兰布尼兹（Leibniz）法则
      • 利用二项式展开（f*g）的n次导
• 微分中值定理
  • 费马（Fermat）定理
    • 极值（Local Maximum/ Minimum Point）
    • Fermat 定理
      • 若发f(x)在某点可导，且在该点处取极值，则函数在该点的导数值为0
      • 几何涵义：极值点处切线水平
  • 罗尔（Rolle）定理
    • 函数在给定区间连续且可导，同时函数两端值相等，可以推出存在一个数在该区间使得函数在该点的导数为0
  • 拉格朗日（Lagrange）定理
    • 函数在给定区间连续且可导，可以推出存在一个数在该区间内，使得函数在该点的导数等于函数在（右端点的函数值减去左端点的函数值）/（右端点减去左端点的值）
  • 柯西（Cauchy）定理
    • 函数f（x）和g（x）都在给定区间内连续且可导，同时任意x属于给定区间，g（x）的导数不等于0。由上可以推出存在一个数属于上述给定区间，使得（（f（x）右端点的函数值减去左端点的函数值）/（g（x）右端点的函数值减去左端点的函数值））=（f（x）的导数/g（x）的导数）
    • 同时可以推广到参数方程
• 洛必达（L'Hospital）法则
  • 定义
    • 对于无穷比无穷或0比0型未定式上下同时求导
  • 洛必达失效情况
    • 洛必达无法化简
    • 洛出来极限不存在（震荡型）
• 泰勒（Taylor）公式
  • 定义
    • 余项为拉格朗日余项，本质是用幂函数拟合一般函数，x0等于0时成为麦克劳林（Maclaurin）公式
  • 必背Maclaurin公式
    • 讲义P48
    • 注：①初等函数都可以无穷阶求导，故可无穷阶展开。 ②arcsinx和tanx记到第二项即可。
• 用导数研究函数性态（长相）
  • 单调性和极值点
    • 单调性判别法
      • 导函数大于0单调增
      • 导函数小于0单调减
    • 极值判别法
      • 函数的极值点出现在驻点（即函数值为0的点）或不可导点
      • 极值第一判别法
        • 函数在某点连续，在该点邻域可导
        • ①导数值在该点左正右负，该点为极大值点
        • ②导数值在该点左负右正，该点为极小值点
        • ③两侧同号，该点不是极值点
      • 极值第二判别法
        • 函数在某点处二阶可导，该点的一阶导数值为0
        • ①二阶导数值小于0，该点为极大值点
        • ②二阶导数值大于0，该点为极小值点
  • 凹凸性和拐点
    • 定义
      • 任意x1，x2属于D，k属于（0,1），有f[kx1+(1-k)x2]<kf(x1)+(1-k)f(x2),则称f（x）为凹函数，反之为凸函数。几何涵义：任意弦在曲线上方，f（x）为凹，反之为凸。
    • 凹凸性判别法
      • f（x）在D上连续
      • 函数二阶导大于0，则f（x）为凹
      • 函数二阶导小于0，则f（x）为凸
      • 几何涵义：切线斜率递增/递减
    • 拐点判别法
      • 拐点定义:凹凸分界点
      • 拐点第一判别法
        • 连续函数 f（x）在x0处二阶导=0或不存在，则
        • 二阶导在x0两侧异号，（x0，f（x0））是f（x）的拐点
        • 二阶导在x0两侧同号，（x0，f（x0））不是f（x）的拐点
      • 拐点第二判别法
        • 函数f（x）在x0处三阶可导，且x0处二阶导等于0，若函数在x0处的三阶导不等于0，则（x0，f（x0））是f（x）的拐点
  • 渐近线
    • 铅直渐近线
    • 水平渐近线
    • 斜渐近线
  • 曲率
    • 弧微分
    • 曲率k
    • 曲率圆