第二章 矩阵

第二章 矩阵，自己整理的有关考研数学线性代数矩阵部分的知识点，欢迎感兴趣的伙伴一起探讨。

第二章 矩阵

• 矩阵的定义及其运算
  • 矩阵定义
    • 如下，称为m×n的矩阵
    • A与B同型：矩阵A和B的行数、列数分别相等
    • A与B相等：矩阵A和B同型，且对应元素相等
  • 特殊矩阵
    • 零矩阵：任意元素均为0，记作0（看到要先判断0的结构）
    • 行矩阵（行向量）；列矩阵（列向量）
    • 方阵
      • 形如
        • ，称为n阶方阵/n阶矩阵
      • 特殊方阵
        • 上三角矩阵
        • 下三角矩阵
        • 对角矩阵
          • 进而可推出单位矩阵E/I
        • 对称矩阵
          • 反对称矩阵
            • 主对角线必须为零
• 矩阵的运算
  • 矩阵的线性运算
    • 矩阵的加法
      • 即对应位置上元素相加
      • 加法性质
        • 交换律：A+B=B+A
        • 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C
        • A+0=A
    • 矩阵的数乘
      • 数乘性质
        • (λ+μ)A=λA+μA
        • (λμ)A=λ(μ)A
        • λ(A+B)=λA+λB
  • 矩阵的乘法
    • 遵循“左行右列”的规则，即行元素的个数等于列元素的个数 （注：①矩阵乘法不满足交换律AB≠BA②AB＝0≠＞A=0或B=0）
    • 矩阵乘法运算律
      • (AB)C=A(BC)
      • λ(AB)=(λA)B=A(λB)
      • (A+B)C=AC+BC
      • C(A+B)=CA+CB
    • 引申——矩阵乘法的几何意义
      • 矩阵→空间变换/线性变换
        • 在向量α左乘个A，相当于对α做一次线性变换，得到了向量β
        • 拉伸变换
        • 旋转变换
      • 矩阵乘法的不可交换性
      • 行列式的几何意义
        • 矩阵对应的线性变换前后图形放大率
        • AB≠BA,|AB|=|BA|=|A||B|＝＞|ABC|=|BAC|=|CBA|=|A||B||C|
        • 特殊地
          • |A|＜0,A的线性变换在空间中发生了翻折
          • |A|=0,(注：图形可能会由面变为线，同时由此可判断矩阵不可逆)
  • 方阵的多项式
    • 方阵的幂
      • 若A为n阶矩阵，则A的k次幂=A·A·A·…·A(k个A相乘)
      • 方阵的幂运算性质
    • 方阵的多项式
      • 关于x的多项式为：
      • 方阵A的多项式为：
      • 方阵多项式的运算律
        • f（A）可因式分解
        • 方阵多项式f（A）可用十字相乘法
        • 注：
  • 矩阵的转置
    • 矩阵转置运算律
  • 伴随矩阵→
    • 重要公式：
  • 可逆矩阵
    • 定义：
      • 对n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E,则A与B均为可逆矩阵，A与B互为逆矩阵，记作(注：矩阵A若可逆，则A的逆矩阵唯一)
    • 矩阵可逆的几何意义
    • 若A可逆，则满足
    • 逆矩阵的计算
      • 矩阵可逆的定义
      • 初等变换法
• 初等变换
  • 初等变换
    • 初等变换
      • 初等行变换
      • 初等列变换
    • 三种初等变换（化简计算）
      • 交换某两行（列）→互换
      • 某一行（列）乘以非0常数K →倍乘
      • 某一行（列）的K倍加到另一行（列）上 →倍加
  • 初等矩阵
    • 单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵
    • 三次初等矩阵
  • 初等变换与初等矩阵的性质
    • 初等矩阵均可逆，且逆矩阵可直接写出（初等矩阵的逆矩阵仍为初等）
    • • 左乘-初等矩阵↔对A做相应初等行变换
      • 右乘-初等矩阵↔对A做相应初等列变换
  • 矩阵等价
    • 若矩阵A经过有限次初等变换后得到矩阵B（A与B为同型矩阵）记作
    • 矩阵等价性质
    • 注：矩阵A与B等价，并非A=B 等价对应的是秩相等即r(A)=r(B)
  • 初等变换应用
    • 初等变换化简矩阵（以下过程中任意矩阵均等价）
      • 行阶梯型：
      • 行最简型：
    • 初等变换法求逆
      • 若A可逆，
      • 若A,B为n阶方阵，AB=C,A可逆，
• 矩阵的秩
  • 子式
    • 在一m×n矩阵A中，任取k行k列（0=<k=<min{m，n}）上的k方个元素，不改变其相对位置，得到一k阶行列式，称为k阶子式。对于一m×n阶矩阵而言，k阶子式数量为CmkCnk，最高阶子式=min{m，n}阶子式。
    • 特殊地，n阶方阵A的最高阶子式为|A|
  • 秩→空间维度rank
    • 规定0矩阵的秩=0→r(A)=0→A=0
    • • 若r(A)=n，则A为列满秩矩阵
      • 若r(A)=m，则A为行满秩矩阵
      • • 若r(A)=n→满秩矩阵
    • 若矩阵An可逆↔|A|≠0↔r(A)=n；若矩阵An不可逆↔|A|=0↔r(A)<n
  • 秩的重要公式
• 分块矩阵
  • 定义
    • 用一些横线、竖线将矩阵A分成若干小块，每个小块均为A的子块，以子块为元素的形式叫做分块矩阵
    • 注：分块方式很多，视题目而定
  • 分块矩阵的运算
    • 分块的加法
      • 两矩阵为同型矩阵，且采用相同分块方法，对应子块直接相加
    • 分块数乘
      • 同矩阵数乘
    • 分块的乘法
      • 同矩阵乘法
    • 分块转置
      • 同矩阵转置
    • 分块行列式→拉普拉斯行列式
      • 必须有一个子块为0
      • 矩阵为方阵，且每个子块均为方阵，即主/副对角线为方阵