第三章 向量

第三章 向量的思维导图，整理了向量及向量组、线性相关/无关、线性表示、向量组的秩和极大无关组的知识，快来看看吧！

向量

• 向量及向量组
  • 向量
    • 子主题
    • 一n维空间中任意一点均可用一向量表示
  • 向量组
    • 若干同维向量的列（行）向量组成的集合→向量组
    • 向量组与矩阵一一对应
• 线性相关/无关
  • 定义
    • 子主题
  • 引申→相关/无关
    • 几何意义
      • 基底向量（多维空间中）
    • 物理意义
      • 力的合成
  • 性质
    • 推论：若一向量组，维数<向量个数，向量组必相关
    • 特殊地，若A为n阶矩阵
      • |A|=0↔A对应行/列向量组线性相关
      • |A|≠0↔A对应行/列向量组线性无关
    • 整体与局部的关系
      • 短相关，则长相关；长无关，则短无关
      • 高维相关，低维必相关；低维无关，高维无关
• 线性表示
  • 一向量可由一向量组线性表示
    • 线性表示与方程组的关系：
  • 一向量组可由一向量组线性表示
    • 性质
      • 若向量组B可由向量组A表出↔r(A)=r(A|B)
    • 矩阵等价与向量组等价的区别：
      • 矩阵A与B对应的行/列向量组等价，则矩阵A与B必等价
• 向量组的秩和极大无关组
  • 定义
    • 注：
      • ①只含0向量的向量组秩为0，无极大无关组
      • ②向量组与其极大无关组等价
      • ③向量组的极大无关组不一定不唯一，任意极大无关组等价且向量个数相同
      • ④若一向量组线性无关，极大无关组即本身
  • 重要结论
    • 三秩相等
      • 矩阵A的秩=A行向量组的秩=A列向量组的秩
    • 推论