高等数学上

高等数学上--函数与极限思维导图，分享了映射与函数、数列极限、函数极限、无穷大与无穷小、极限运算法则、极限存在准则、无穷小的比较、函数连续性与间断点、闭区间连续函数性质。

高等数学

• 函数与极限
  • 映射与函数
    • 映射
      • x中元素y都能有唯一元素对应
      • 满射，y中任一元素是x元素的像
      • 单射，x中不同元素的像不同
      • 逆映射，只有单射存在逆映射
    • 函数
      • 有界性
        • 函数在X有界，充分必要条件为既有上界又有下界
      • 单调性
        • 对任意x1<x2,f(x1)<f(x2)，f(x)单调递增
      • 奇偶性
        • f(x)=f(-x),为偶函数；f(-x)=-f(x)，为奇函数
      • 周期性
        • f(x+t)=f(x),
      • 反函数
        • f^-1(y)=x,单调性与原函数相同
      • 基本初等函数
        • 反，对，幂，指，三角，反三角
  • 数列极限
    • 极限
      • 对任意给定的正数t,存在N，n>N，|x-a|<t
      • N与t的值有关，指出N存在，即可证明有极限
    • 收敛数列
      • 唯一性
        • 数列收敛则极限唯一
      • 有界
        • 收敛一定有界
        • 存在正数M，|x|<M，
        • 有界是收敛的必要条件，无界则发散
      • 保号性
        • x极限为a,a>0，存在正数N，n>N,x>0
      • 数列收敛与a，任一子数列也收敛与a
  • 函数极限
    • 函数在x0去心邻域有定义，给定a，存在t,0<|x-x0|<t,|f(x)-A|<a
    • 单侧极限
      • 左极限
        • x->x0-时,x0-t<x<x0
      • 右极限
    • 自变量趋于无穷
      • 存在A，任意正数t，存在X，|x|>X时,|f(x)-A|<t
      • y=A为水平渐进性
    • 性质
      • 唯一性，极限存在则唯一
      • 局部有界性
      • 保号性
  • 无穷大与无穷小
    • 无穷小
      • x->x0,f极限为0，函数为x->x0时的无穷小
      • f=A+无穷小，为有极限的充分条件
    • 无穷大
      • |x|>X,|f(x)|>M
      • f为无穷大，1/f为无穷小
  • 极限运算法则
    • 有限无穷小之和为无穷小
      • 常数与无穷小乘积为无穷小
      • 有限无穷小乘积为无穷小
    • 分母极限不为0，可用运算法则
  • 极限存在准则
    • 夹逼准则
      • X去心邻域，g(x)<f(x)<h(x),g、h极限为A，则f极限为A
    • 柯西存在准则
      • 对给定a,存在N，m>N,n>N,|xn-xm|<a,是收敛的充分必要条件
  • 无穷小的比较
    • 定义
      • b/a->0,b为a高阶无穷小
      • b/a->无穷，b为a低阶无穷小
      • b/a->常数，为同阶
      • b/a->1，为等阶
    • 可用等价无穷小代换求极限，乘积可用，加减不可
  • 函数连续性与间断点
    • x0处左右极限存在且相等，则在x0处连续
    • 间断点
      • 定义
        • x=x0,无定义；有定义，极限不存在；有定义，极限存在但不等于f(x0)
      • 第一间断点
        • 左右极限存在
        • 可去间断点：x=x0不存在；跳跃间断点：左右极限不等
      • 第二间断点
        • 左右极限至少一个不存在
        • 无穷间断点，振荡间断点
  • 闭区间连续函数性质
    • 区间有界，则一定有最大与最小值
    • 介质定理
    • 一致连续性