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高等代数
高等代数思维导图，参考于上海交通大学出版社相应教材
编辑于2020-07-18 10:44:27- 高等代数
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高等代数
行列式
排列及其逆序数
n阶行列式的定义
子主题
对换
一次对换改变排列奇偶性
对换次数奇偶性与排列的奇偶性相同
行列式的性质
行列互换其值不变
互换两行（列）行列式变号
某行（列）所有元素乘以k等于数控‘乘以这个行列式’
某行（列）所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和
某行（列）所有元素乘以同一个数加到另一行（列）的对应元素，行列式值不变
行列式的展开
余子式与代数余子式
Vandermonde行列式
Laplace定理
矩阵
常用矩阵
行矩阵、列矩阵
方阵
上三角矩阵、下三角矩阵
对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵
对称矩阵、反对称矩阵
负矩阵
矩阵的关系和运算
同型矩阵、矩阵相等
矩阵的线性运算
矩阵的加法减法
运算规律
A+B=B+A
（A+B）+C=A+（B+C）
A+（－A）=O
A+O=O+A=A
数与矩阵的乘法（数乘矩阵）
运算规律
子主题
矩阵与矩阵的乘法
运算规律
（AB）C=A（BC）
A（B+C）=AB+AC
（B+C）A=BA+CA
矩阵的转置、矩阵的共轭、矩阵的共轭转置（转置共轭）
方阵的行列式（detA）（|A|）
伴随矩阵和逆矩阵
伴随矩阵：AA*=A*A=|A|E
逆矩阵
逆矩阵的定义求法：
方阵逆矩阵的性质
A可逆，则A逆可逆，A逆的逆=A，|A逆|=1/|A|
A可逆，数k≠0，则kA可逆，（kA）逆=（1/k）A逆
A，B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，（AB）逆=B逆A逆
A可逆，则A转置、A共轭、A（H）均可逆
矩阵的分块法
分块矩阵的概念
分块矩阵的运算
分块矩阵的加法
分块矩阵的乘法
数与分块矩阵的乘法
分块矩阵的转置
分块对角矩阵（准对角矩阵）
线性方程组的线性表示
系数矩阵
未知数矩阵
常数项矩阵
增广矩阵
矩阵的初等变换和初等矩阵
初等变换
对调两行
用非零常数k乘某一行的所有元素
把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应元素上
矩阵间的等价关系：反身性、对称性、传递性
行阶梯矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵
初等矩阵
单位阵对调两行的第一种初等矩阵
单位阵以非零常数k乘某行（列）
单位阵把某行（列）的k倍加到另一行（列）
初等变换求逆矩阵
矩阵的秩
定义：非零矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩
规定：零矩阵的秩为零
多项式
一元多项式的定义和计算
多项式的整除性
整除
0|f(x)<=>f(x)=0
f(x)|0,任意f(x)属于P【X】
任意c不等于0，任意f(x)属于P[x],有c|f(x)
f(x)|f(x),整除关系具有反身性
整除的传递性
带余除法
商式
余式
设f(x),g(x)属于P[x]，且g(x)不等于0，则g(x)|f(x)当且仅当g(x)除f(x)的余式为0
当属于P‘包含数域P，f(x)和g(x)是P[x]中的两个多项式，则在P[x]中g(x)|f(x)当且仅当在P‘[x]中g(x)|f(x)
子主题
多项式的最大公因式和互素
辗转相除法
多项式的分解
唯一因式分解定理
多项式的重因式
标准分解式
多项式的函数，多项式的根
余式定理（综合除法）
贝祖定理
复数域和实数域上的多项式
代数基本定理
复数域上的不可约多项式只有一次因式
任何n（n>0)次复系数多项式恰有n个根（重根按重数计算）
复系数多项式唯一因式分解定理，韦达公式
有理数域上的多项式
本原多项式
高斯引理
若一个n(n>0)次的整系数多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积
艾森施坦因判别法
有理数域上存在任意次的不可约多项式
线性方程组
Cramer法则
一般线性方程组的解
方程组的三中变换：互易、倍法、消元
线性方程组有解的充分必要条件：R（A）=R（A，b）
推论1：线性方程组无解的充分必要条件：R（A）<R(A,b)
推论2：线性方程组唯一解的充分必要条件：R（A)=R(A,b)=n
推论3：线性方程组有无穷多个解的充分必要条件：R(A)=R(A,b)<n
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合
B=k1a1+k2a2+...+ksas
B是向量组a1,a2,...,as的线性组合
B可由向量组a1,a2,...,as线性表示
向量B能由向量组A线性表示的充分必要条件是A的秩=B的秩
向量组B每一个向量都能由A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示
向量组等价的性质
反身性
对称性
传递性
向量组的线性相关性
设向量组A：a1,a2,...,am,如果存在不全为零的数k1，k2,...,km，使得k1a1+k2a2+..+kmam=0,则称向量组A线性相关，否则线性无关
设A=（a1,a2,...,am),则向量组线性相关的充分必要条件是R(A)<m
设A=（a1,a2,...,am),则向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m
向量组a1,a2,...,am线性相关的充分必要条件是a1,a2,...,am中至少有一个向量可由其余向量线性表示
若向量组a1,a2,...,am线性无关，则向量组a1,a2,...,am,B线性相关，则B可由a1,a2,...,am线性表示，且表示方法唯一
设向量组a1,a2,...,am线性无关，aj=(a1j,a2j,...,anj)T,若将该向量组的每一个向量都增加t个分量，得到向量组B，则向量组B也线性无关
设有一组n维向量a1,a2,...,am,如果m>n,则向量组a1,a2,...,am线性相关
若向量组a1,a2,...,am中有一部分向量线性相关，则整个向量组a1,a2,...,am也线性相关
向量组的秩
向量组A的秩（最大无关组所含向量的个数）
A中能选出r个向量a1,a2,...,ar线性无关
向量组A中任意r+1个向量都线性相关
最大无关组的推论
一个向量组与它的最大无关组等价
同一个向量组的不同的最大无关组等价
等价向量组的最大无关组也等价
最大无关组的等价定义：若在向量组A中能选出r个向量a1,a2,..,ar,满足：
1.a1,a2,...,ar线性无关
2.向量组A中的任意向量能由a1,a2,...,ar线性表示
则向量组a1,a2,...,ar是向量组A的一个最大无关组
矩阵的 秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量组的秩
如果向量组B能由向量组A线性表示，则R（B1，B2，...Bt）<=R(a1,a2,...,as)
齐次线性方程组解的结构
若x1，x2为线性方程组的解，则x1+x2也是方程组的解
若x1是线性方程组的解，则对任意常数k，kx1也是方程组的解
基础解系定义：若x1，x2，...,xt为齐次线性方程组的解集S的一个最大无关组，则x1,x2,...,xt称为方程组的一个基础解系
若n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩R(A)=r<n,则该方程组的解集S必存在基础解系，并且它的任意一个基础解系均由n-r个解向量组成
设Am*nBn*l=O,则R(A)+R(B)<=N
R（ATA）=R（A）
非齐次线性方程组解的结构
若x1,x2是非齐次线性方程组的解，则x1-x2是其导出齐次方程组的解
设x是非齐次线性方程组的解，x’是其导出齐次方程组的解，则x+x’是非齐次线性方程组的解
相似矩阵及二次型
方阵的特征值和特征向量
特征子空间
几何重数
代数重数
设方阵A的n个特征值x1，x2,...xn,则tr（A）=x1+x2+...+xn;|A|=x1x2...xn
推论：方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零
特征值的性质
x的k次方是A的k次方的特征值
kx是kA的特征值
当A可逆时，x－1是A－1的特征值
当A可逆时，（1/x）|A|是A*的特征值
方阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的
哈密顿－凯莱定理
相似矩阵
定义：P－1AP=B，则称A与B相似（B是A的相似矩阵）
性质
A与B有相同特征多项式，有相同特征值
A与B的行列式相等
A与B的迹相等
A与B的秩相等
A与B可逆时，其逆矩阵也相似
A的k次方与B的k次方相似
f（A）与f（B）相似
n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
若n阶方阵A恰有n个两两互异的特征值，即A的特征值都是单根，则A与对角阵相似
n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的任意ri重特征值xi有ri个线性无关的特征向量
实对称矩阵的相似矩阵
实对称矩阵的特征值必为实数
实对称矩阵A的属于不同特征值的实特征向量必正交
设A是n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得PTAP=P－1AP=daig（x1,x2,...,xn)(特征值），设A，B都是n阶实对称矩阵，若存在正交矩阵P，使得P-1AP=PTAP=B,则称A正交相似于B 实对称矩阵一定正交相似于对角阵
设A为n阶实对称矩阵，x是A的k重特征根，则R(xE-A)=n-k,对应于特征值x恰有k个线性无关的特征向量
二次型及其标准形
复二次型与实二次型
二次型矩阵的秩称为二次型的秩
合同：CTAC=B
反身性
对称性
传递性
新二次型矩阵与原二次型矩阵合同
化二次型为标准形
正交变换法
配方法
初等变换法
正定二次型
分类
正定二次型
负定二次型
半正定二次型
半负定二次型
不定二次型
二次型正定的充分必要条件是二次型矩阵的所有特征值都是正数
n元二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件及其规范性为y12+y22+...+yn2
n元二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数等于n
n元二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件是A与E合同
若二次型f(x)=xTAx正定，则|A|=det（A）>0
顺序主子式
二次型正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式大于零
正定矩阵的性质
如果A正定，则A－1正定
如果A和B都正定，则A+B正定
实对称矩阵与命题的等价
A半正定
A的正惯性指数等于R(A)<n
存在实矩阵C，使得A=CTC
A的全部特征值非负，且必有零特征值
线性空间与线性变换
数环、数域、映射
数环定义：设S是非空数集，如果S对加法、减法、乘法都封闭，则称S为一个数环
数环的性质
任何数环都包含数零
设S是一个数环，若a属于S，则na属于S
若S1，S2都是数环，则S1交S2也是数环
数域定义：设P是复数集的子集，至少含有一个不为零的数，如果P关于加法、减法、乘法、除法（除数不为零）都封闭，则称P为一个数域
数域的性质
任何数域都包含0和1
任何数域都包含有有理数域Q
映射
恒等映射（单位映射）
满射
单射
双射（一一映射）
线性空间及其性质
线性空间的定义：设V是一个非空集合，P是一个数域，对任意两个元素a,b属于V，总有唯一的元素y属于V与之对应，称为a,b的和，记为y=a+b;又对于任意一个数k属于P与任一元素a属于V，总有唯一的元素z属于V与之对应。称为kyua的数量乘积，记为z=ka 则称V是数域P上的线性空间
八条运算规律
a+b=b+a
(a+b)+y=a+(b+y)
在V中存在零元素0，对任意的a属于V，都有a+0=a
对任意的a属于V，都有a的负元素b属于V，使a+b=0
1a=a
k(la)=(kl)a
(k+l)a=ka+la
k(a+b)=ka+kb
线性空间的性质
零元素是唯一的
任意元素的负元素是唯一的
0a=0;k0=0;(-k)a=-(ka)
如果ka=0，则k=0或a=0
线性空间的子空间
定义：设V是一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对于V中的加法和数量乘法两种运算也构成一个线性空间，则称W是V的子空间
线性空间V的非空子集W构成子空间的充分必要条件：W对于V中的线性运算封闭
平凡子空间
只含零向量的子空间（零子空间）
线性空间V本身
生成元
线性变换
定义：变换o（a+b)=o(a)+o(b),o(ka)=ko(a)
恒等变换（单位变换）
零变换
数乘变换
线性变换的性质
o(0)=0;o(-a)=-o(a)
若B=k1a1+k2a2+...+kmam,则o(B)=k1o(a1)+k2o(a2)+...+kmo(am)
若a1,a2,...,am线性相关，则o(a1),o(a2),...,o(am)也线性相关
线性变换o的像集o(V)={o(a)|a属于V｝是线性空间V的子空间
对任意的a属于V，满足o(a)=0的全体a所构成的集合kero=｛a|a属于V，o（a）=0｝称为线性变换o的核。kero是V的子空间
线性变换的矩阵表示
线性变换的和对应于矩阵的和
线性变换的乘积对应于矩阵的乘积
线性变换的数量乘积对应于数乘矩阵
可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵
线性变换在不同基下的矩阵
线性变换的运算
不满足交换律
满足结合律
有左分配律和右分配律
基、维数与坐标
基
a1,a2,...,ar线性无关
V中任一向量a都可由a1,a2,...,ar线性表示
维数（dim）
基中所含向量的个数
坐标
标准基
n维向量空间
基变换与坐标变换
基变换公式
过渡矩阵
坐标变换公式
欧氏空间
向量的内积
（a,b)=(b,a)
(ka,b)=k(a,b)
(a+b,y)=(a,y)+(b,y)
(a,a)>=0,当且仅当a=0，（a，a）=0
非负实数根号（a,a)称为向量a的长度（或模）
向量长度的性质
|a|>=0,当且仅当a=0时，|a|=0
|ka|=|k||a|
柯西－布涅柯夫斯基不等式：|（a,b)|<=|a||b|,当且仅当a，b线性相关时等号成立
|a+b|<=|a|+|b|(三角不等式）
正交
定义：向量的内积为零，即（a,b)=0
度量矩阵
标准正交基
施密特正交化过程
正交矩阵
性质：
若A是正交矩阵，则A可逆，且A－1=AT
若A是正交矩阵，则A－1，AT，A*，A2也是正交矩阵
若A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵
正交变换