导图社区概率论-北京大学出版社

概率论-北京大学出版社

列出了概率论与数理统计基础知识架构体系

编辑于2020-10-21 18:43:51

概率论与数理统计

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概率论与数理统计

1.随机事件及其概率

事件

类型

必然事件

偶然事件

事件间关系

包含关系

(A⊂B)

相等关系

A=B

和事件

并集(A、B至少有一个发生，A∪B)

积事件

交集(A、B同时发生,A∩B)

差事件

A-B，A发生B不发生

A-B=A-A∩B=A∪B的补集

互不相容事件(互斥)

A、B不同时发生，无交集

A∩B=0

对立事件

A，B互不相容，且A、B构成全集

A∩B=0,A∪B=Ω

事件运算

结合律

交换律

分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

徳摩根律

事件的概率

概率的初等描述

概率的定义

事件发生的可能性的概率，P(A)

概率的性质

P(Ω)=1,P(0)=0

0≤P(A)≤1

概率模型

古典概率模型

条件

有限个样本点

等可能性

符号

P(A)=A的有利样本点/Ω的所以样本点

排列组合

加法原理

几类方案

乘法原理

分几步

排列

不重复排列

不放回

从n个不同元素中取出m个排列

重复排列

从n个不同元素中取m个排列

可放回

组合

性质

非负性

0≤P(A)≤1

规范性

P(Ω)=1,P(0)=0

有限可加性

条件

A，B互不相容，且A、B构成全集

几何概率模型

概率分布

线段

平面

立体

性质

非负性

0≤P(A)≤1

规范性

P(Ω)=1,P(0)=0

完全可加性

条件

A，B互不相容，且A、B构成全集

频率与概率

公理化

公理

公理1

非负性

0≤P(A)≤1

公理2

规范性

P(Ω)=1,P(0)=0

公理3

完全可加性

条件

A，B互不相容，且A、B构成全集

性质

性质1

A为不可能事件，P(A)=0，逆命题不成立

性质2

有限可加性

条件

A，B互不相容，且A、B构成全集

性质3

性质4

1.P(A-B)=P(A)-P(AB)

2.若B⊂A,则P(A-B)=P(A)-P(B)

性质5

1.A,B为两个任意事件，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

加法的一般公式

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

2.若A,B互斥，则P(AB)=0,则P(A+B)=P(A)+P(B)

条件概率与全概率公式

定义

性质

P(A｜B)≥0

P(Ω｜B)=1

A1,A2…An不相容

乘法公式

P(AB)=P(A｜B)P(B)=P(A)P(B｜A)

P(ABC)=P(A)P(B｜A)P(C｜AB)

全概率公式

A1,A2…An是E的完备事件组

贝叶斯公式

已经知道结果找原因

改种概率在总情况下的概率

事件的独立

定义

A的概率不受B发生与否的影响

P(A|B)=P(A)

定理

A, B独立，P(AB)=P(A)P(B)

什么时候用独立？

常识性，投篮、射击等

题目明确说明独立

伯努利模型

两种实验

n个独立重复实验序列

n次重复实验

伯努利实验

条件

结果只有两种

n次独立重复实验

定理

A的概率为p，n重伯努利实验中发生k次的概率

2.随机变量及其分布

随机变量的概念

样本空间

唯一对应

随机变量的类型

离散型

有限个

无限可列个

非离散型

其他

连续型

随机变量及其概率分布

离散型随机变量及其概率分布

定义

性质

非负性

归一性

分布列

常见离散型分布

0-1分布

只做一次，只有两种实验结果

几何分布

A为某一事件，P(A)=p,第k次首次发生，前k-1次未发生

二项式分布 X~B(n,p)

放回

P(A)=p,n次试验发生k次

泊松分布

适用范围

电话台收到呼叫次数

等车、收银台等公共设施

用泊松分布近似计算二项式

超几何分布

不放回抽样试验，总样本N大，抽样n小，较准确

N>=10n，不放回抽样近似看成放回抽样（n次伯努利试验）

连续型随机变量及其概率密度函数

定义

方法：分段求积分+积分可加性

性质

非负性

归一性

求参数

点的概率为0

特殊点讨论

连续型随机变量取个别值的概率为零（积分上下限数值一样）

概率为0的事件未必是不可能事件

概率为1的事件未必是必然事件

分布函数

随机变量取值不超过x的概率

性质

非负性

F(x)不减

至多可列个间断点，F(x) 右连续

离右连续

连连续

常见公式

一般分段算，一般第一段为0，最后一端为1

常见连续型分布

均匀分布X~U[a,b]

指数分布