张宇30讲——线代第5讲.特征值与特征向量

与张宇书上内容基本一致，笔记内容也有所补充

特征值与特征向量

• 特征值与特征向量
  • 定义
    • n阶矩阵A，存在数l以及n维非0列向量x使得Ax=lx， 称l为A的特征值，x是矩阵A属于l特征值的一个特征向量
  • 性质
    • 特征值的性质
      • 特征值的和=主对角线之和
      • 特征值的乘积=行列式的值
    • 特征向量的性质
      • (1)k重特征值λ至多只有k个线性无关的特征向量
      • • 特征值不同，对应特征向量线无关
      • • 1.同一个特征值的特征向量加加减减，仍是...特征向量 2.不同特征值的....加加减减一定不是A的特征向量
  • 求法
    • 具体型矩阵
      • “特征方程法”: 即先用特征方程|λE-A|=0求出λ, 再解齐次线性方程组(λE一A)X=0,求出特征向量.
        • 求λi方法： 行列变换求法很麻烦，观察非主对角线元素是否可消成0， 得零的同时要有λi的公因式(λi-k)可提取
      • 注意：
        • 上、下三角矩阵与对角矩阵的特征值就是对角线元素
        • • 进一步分解f(l),可用多项式的带余除法
          • ④若
        • 矩阵秩为1，特征值为
        • A= B+kE形式
          • B秩为1的时候，可快速得到A的特征值 P131
    • 抽象型矩阵
      • 利用定义Ax=lx进行推导特征值
      • 利用特征值的性质
      • 利用公式
      • 若|A|=0且r(A)<n，则0为一个特征值
      • 题目提到正交矩阵、实对称矩阵、正交向量，优先考虑
      • 注意点
        • 矩阵A有三个不同特征值 则r(A)>=2
          • 0也可能会作为特征值 避免认为r=3
• 相似
  • 矩阵相似
    • 定义
      • • 对称性：A~B，则B~A
        • 传递性：A~B，B~C则A~C
    • 性质
      • 若A~B，则
        • 相似必要条件:矩阵相似一定会有的性质，反过来不一定成立
        • |λE-A| = |λE-B|
          • 特征多项式相同,即特征值也相等
        • r(A) = r(B)
        • |A|=|B|=
          • 根据特征值求行列式
        • ∑aii = ∑bii =
          • 矩阵的迹一定相等
        • A~B则 特征值、秩、行列式、迹都相同
      • 若A~B，则
    • 判断相似
      • 利用定义
      • 选择题
        • 利用相似的必要条件，进行排除
      • 大题（相似充要条件）
        • 矩阵A,B特征值一致且可相似对角化
          • 也就是求出矩阵A,B对相似于同一个对角矩阵
        • 矩阵A,B特征值一致，且特征值不重复，A,B一定相似
  • 矩阵的相似对角化
    • 定义
      • 如果A~L，则称矩阵A可相似对角化
        • • L对角线即为A的特征值
          • P列向量即为A特征值对应的特征向量
          • 特征值与特征向量位置一定是对应的 仅限^矩阵，普通矩阵A~B没有这个性质
    • 可相似对角化的条件
      • 两个充分
        • ①n阶矩阵A可相似对角化ÛA有n个线性无关的特征向量.
        • ②n阶矩阵A可相似对角化ÛA对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量.
      • 两个充要
        • ③n阶矩阵A有n个不同特征值→A可相似对角化.
        • ④n阶矩阵A为实对称矩阵→A可相似对角化.
      • 判断：A矩阵是否可以相似对角化？
        • 先看A是不是 对称矩阵
          • 对称---一定相似
          • 不对称
            • 求A特征值， 看特征值是 否重根
              • 不重---一定相似
              • r个重根---求秩r(λE-A) ,判断特征向量个数
                • 若对应有r个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵
                • 线性无关的特征向量少于r个(不可能多于r个),则不能相似于对角矩阵
    • 相似对角化的步骤
      • 求可逆矩阵P,使
  • 应用
    • 反问题
      • 实对称矩阵
        • 定理
          • 实对称矩阵必可相似对角化
            • 不论是否有重根
          • 实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的
          • 实对称矩阵一定可以用正交矩阵Q相似对角化，
        • 证明两个实对称矩阵相似
          • 证明特征值相等即可
        • 实对称矩阵的相似对角化
          • 用正交矩阵Q使
            • 带参数时，需要先预处理，求出参数
            • 求出矩阵A的特征值
            • 求出对应特征向量
            • 将特征向量改造成两两垂直单位向量
              • 1。特征值不同，则向量已正交，只需单位化
              • 2。特征值有重根
                • （1）特征值已经正交，只需单位化
                • （2）特征值不正交，将其正交再单位化
      • 反求参数
        • 给出A~B的条件
          • 利用相似矩阵的性质
        • 给出l的特征向量x
          • 利用Ax=lx建立等式求参数
        • 给出矩阵A的特征值l
          • 利用|λE-A|=0建立等式求参数
      • 反求A
    • 求A"与j(A)