导图社区 张宇30讲——线代第5讲.特征值与特征向量
与张宇书上内容基本一致，笔记内容也有所补充
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特征值与特征向量
定义
n阶矩阵A，存在数l以及n维非0列向量x使得Ax=lx， 称l为A的特征值，x是矩阵A属于l特征值的一个特征向量
性质
特征值的性质
特征值的和=主对角线之和
特征值的乘积=行列式的值
特征向量的性质
(1)k重特征值λ至多只有k个线性无关的特征向量
特征值不同，对应特征向量线无关
1.同一个特征值的特征向量加加减减，仍是...特征向量 2.不同特征值的....加加减减一定不是A的特征向量
求法
具体型矩阵
“特征方程法”: 即先用特征方程|λE-A|=0求出λ, 再解齐次线性方程组(λE一A)X=0,求出特征向量.
求λi方法： 行列变换求法很麻烦，观察非主对角线元素是否可消成0， 得零的同时要有λi的公因式(λi-k)可提取
注意：
上、下三角矩阵与对角矩阵的特征值就是对角线元素
进一步分解f(l),可用多项式的带余除法
④若
矩阵秩为1，特征值为
A= B+kE形式
B秩为1的时候，可快速得到A的特征值 P131
抽象型矩阵
利用定义Ax=lx进行推导特征值
利用特征值的性质
利用公式
若|A|=0且r(A)<n，则0为一个特征值
题目提到正交矩阵、实对称矩阵、正交向量，优先考虑
注意点
矩阵A有三个不同特征值 则r(A)>=2
0也可能会作为特征值 避免认为r=3
相似
矩阵相似
对称性：A~B，则B~A
传递性：A~B，B~C则A~C
若A~B，则
相似必要条件:矩阵相似一定会有的性质，反过来不一定成立
|λE-A| = |λE-B|
特征多项式相同,即特征值也相等
r(A) = r(B)
|A|=|B|=
根据特征值求行列式
∑aii = ∑bii =
矩阵的迹一定相等
A~B则 特征值、秩、行列式、迹都相同
判断相似
利用定义
选择题
利用相似的必要条件，进行排除
大题（相似充要条件）
矩阵A,B特征值一致且可相似对角化
也就是求出矩阵A,B对相似于同一个对角矩阵
矩阵A,B特征值一致，且特征值不重复，A,B一定相似
矩阵的相似对角化
如果A~L，则称矩阵A可相似对角化
L对角线即为A的特征值
P列向量即为A特征值对应的特征向量
特征值与特征向量位置一定是对应的 仅限^矩阵，普通矩阵A~B没有这个性质
可相似对角化的条件
两个充分
①n阶矩阵A可相似对角化ÛA有n个线性无关的特征向量.
②n阶矩阵A可相似对角化ÛA对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量.
两个充要
③n阶矩阵A有n个不同特征值→A可相似对角化.
④n阶矩阵A为实对称矩阵→A可相似对角化.
判断：A矩阵是否可以相似对角化？
先看A是不是 对称矩阵
对称---一定相似
不对称
求A特征值， 看特征值是 否重根
不重---一定相似
r个重根---求秩r(λE-A) ,判断特征向量个数
若对应有r个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵
线性无关的特征向量少于r个(不可能多于r个),则不能相似于对角矩阵
相似对角化的步骤
求可逆矩阵P,使
应用
反问题
实对称矩阵
定理
实对称矩阵必可相似对角化
不论是否有重根
实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的
实对称矩阵一定可以用正交矩阵Q相似对角化，
证明两个实对称矩阵相似
证明特征值相等即可
实对称矩阵的相似对角化
用正交矩阵Q使
带参数时，需要先预处理，求出参数
求出矩阵A的特征值
求出对应特征向量
将特征向量改造成两两垂直单位向量
1。特征值不同，则向量已正交，只需单位化
2。特征值有重根
（1）特征值已经正交，只需单位化
（2）特征值不正交，将其正交再单位化
反求参数
给出A~B的条件
利用相似矩阵的性质
给出l的特征向量x
利用Ax=lx建立等式求参数
给出矩阵A的特征值l
利用|λE-A|=0建立等式求参数
反求A
求A"与j(A)
