博弈论

博弈论，又称为对策论（Game Theory）、赛局理论等，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。 博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。 博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。在金融学、证券学、生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。

博弈论

• 基础概念
  • 基本假定
    • 人是理性的
      • 指具有推理能力，在具体策略选择上目的是使自己利益最大化
  • 重要条件和基本内容
    • 至少有两个独立的博弈参与人
    • 博弈参与者存在策略选择的可能（即存在策略空间)
    • 参与人在不同的策略组合下会得到一定的支付（一般用支付矩阵表示）
    • 对博弈参与人来说，存在一个博弈结果
    • 博弈涉及均衡，纳什均衡（所有的博弈至少存在一个纳什均衡点)
  • 类型
    • 合作型博弈
      • 参与人与人达成协议或者结成联盟，结果对双方都有利（如企业的形成）
    • 非合作型博弈
      • 参与人没有达成约束性协议（如囚徒困境）
    • 静态博弈
      • 博弈双方同时行动或有先后顺序但彼此并不知情
    • 动态博弈
      • 参与人行动有先后，后发的可以观察先行动的一方再进行决策
    • 完全信息博弈
      • 参与人各方都完全了解彼此的策略空间和及各组合下的支付（如囚徒困境）
    • 不完全信息博弈
      • 参与人双方信息不对称
  • 几种典型博弈
    • 囚徒博弈
      • 中国不改变应试教育现有制度的情况下，无论任何倡导减压减负，考生给自己增负都是最佳选择
    • 斗鸡博弈
      • 如古巴导弹危机，美苏互不相让
    • 骑虎难下
      • 美苏军备竞赛，双方不断投入，类似于沉没成本
    • 零和博弈
      • 属于非合作性博弈，指博弈双方一方收益必定导致另一方的损失，且双方收益和损失的和为零。如下棋
    • 协调博弈
      • 存在多个均衡点，通过某个约定或信念协调参与人行动，使双方都没有改变行动的想法和鼓励机制，使某个均衡点得以实现
    • 协同攻击难题
      • 由于情报人员的时效性和可靠性不高，合作各方无法形成公共知识从而同时对敌人发起进攻
  • 公共知识
    • 定义
      • 1和2知道命题a，1知道2知道命题a，2知道1知道命题a，1知道2知道1知道命题a……即称1和2对于命题a具有公共知识。
    • 基础和前提
      • 人们所相信的命题是真的
      • 人们要熟悉或了解这个命题
      • 人们要相信他所知道的事实
      • 参与人是理性人
    • 注：公共知识是相对于某个群体的，如科学家们之间的公共知识不一定是普通民众的公共知识。
• 博弈论公平是否存在
  • 投票博弈
    • 实际上就是给参选者“戴帽子”，即社会赋予个人社会属性的过程
  • 投票悖论
    • 在民主投票的结果分布里，A>B,B>C,不一定得出A>C,故民主投票不一定可以反应群体社会总体偏好。如特朗普当选美国总统。
  • 班孔夫权力指数
    • 每个决策者在决策时的权力体现在其能够作为“关键加入者出现在获胜联盟的次数，次数越多，权力越大。一般将此出现次数称为”权力指数。
  • 夏普里值
    • 标注
  • 言语博弈
    • 声称的策略决定
      • 例如外交语言
    • 真正的策略决定
      • 实际行动
  • 阿罗不可能定理
    • 即无法找到任何一个社会偏好函数，可以反映所有群体的社会偏好
      • 需符合三个前提条件：1适合所有人的偏好类型 2为非独裁社会 3遵循帕累托原则，即所有人偏好认为A>B，则社会偏好也如此 4个人对A>B的偏好不变，则社会A>B偏好也不变
  • 不公平导致革命
    • 当社会财富两极分化极其严重且人民偏好得不到表达，大部分人要求社会财富再分配，革命机会发生。这其实是一种极端的投票方式
• 论集体行动的悲剧
  • 哈定悲剧（公共资源悲剧）
    • 如一个牧场的的所有牧民都想多养牛来赚钱，即使因为草量下降导致牛的单位收益下降。最终导致草地无法负荷，所有牛都饿死。
  • 对策
    • 国家（规则）
      • 通过中心化组成有强制力的权力机构（如国家）或制定有效规则，缺点是成本太高，发展落后地区难以中心化
    • 道德
      • 通过道德和非中心化的奖惩措施相结合，缺点在于非强制性，当不道德的行为带来的收益高于遵守道德带来的成就感时失效。
  • 未来，过去
    • 集体行动的未来原则上无法预测，因为你不知道未来你知道什么，也不知道未来知道的这些东西会对未来造成多大影响。同时，集体行动的过去也无法改变，因为一件事不可能既发生过又没有发生过，一个人也不可能既存在过又不存在过。所有，穿越在原则上是不存在的。所谓预测只是在一定条件下得出未来可能朝着某个方向发展的可能性。
• 重要方法
  • 演绎法
    • 逻辑学最常用方法之一
  • 归纳法
    • 博弈论常用，但缺点较多
  • 倒推法（逆向归纳法）
    • 当对方参与人做出决策时，其可以通过对最后阶段的分析，准确预测对方的行为，从而确定自己的行为（类似数学的逆推法）
• 其他重要概念及现实博弈
  • 奥曼定理
    • 如果两个人有相同的验前知识，并且他们对某事件的验后知识是公共知识，则这些验后知识相等。说人话就是一开始对一个事物看法不同的理性人，在不同信息状态下他们的看法会方便，若改变后的看法为公共知识，那么他们的观点应该一致。如股民在经过充分沟通各方信息完全一样时，在同样的公共知识下，不同的理性人应该得到相同的观点
  • 边缘策略
    • 给对手制造风险，将其带到灾难边缘，迫使其屈服（如美军在古巴导弹危机中的做法），有时可以作用在自己身上，如项羽破釜沉舟。
  • 混合策略
    • 指根据预先决定的概率随机选择不同的行动。如田忌赛马中大王如果随机选择马出站则可以提高赢的几率
  • 归纳学习的局限性
    • 1过于粗暴，如不能因为一个人做过坏事就认为其永远是坏人 2当归纳的内容为真且没有成为所有人的公共知识时是有用的，但成为了后就归于无用了（如当地一户人家发现某种肥料可以提高产量时可以增加自己收益，当所有人都知道了就归于无用
  • 酒吧问题
    • 任何人无法用任何方法确定地预测将要去酒吧的人数，因为其为一个混沌现象，不可预测
  • 少数者博弈
    • 即如果成为少数的那群人则收益更大。如股民都在预测其他股民的想法试图成为赚钱的少部分人
  • 拍卖博弈
    • 英式拍卖（第二价格拍卖，较为常见）
      • 多个竞价者以某个最低竞拍价开始对物品轮流加价，每次至少加一个最低加价数额，出价最高者得到此物品。但最后需支付比最后价格高一个最低加价数额的价位支付。这有利于竞价者诚实出价
    • 第一价格密封拍卖
      • 竞价者将自己出的价格写在纸上，密封后交给拍卖行，出价最高者以所写价格支付并得到该物品。工程招标即为此变体
  • n人博弈的均衡点
    • 过于高深，不懂……